Страница 65 номер 104, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Вершины на рисунке не подписаны, поэтому обозначим их сами: в верхнем ряду слева направо \(A\), \(B\), \(C\), \(D\); в нижнем ряду под ними соответственно \(F\), \(G\), \(H\), \(I\); правее всех, на середине высоты, — вершина \(E\).

В графе 9 вершин и 15 рёбер: \(AB\), \(AF\), \(BG\), \(FG\), \(BF\), изогнутое ребро \(AC\), проведённое над вершиной \(B\), \(CD\), \(CH\), \(DI\), \(GH\), \(HI\), \(CI\), \(DE\), \(EI\) и изогнутое ребро \(HE\), проведённое под вершиной \(I\).

Граф связный и плоский, поэтому число областей находится по формуле Эйлера \(v - e + f = 2\): \[f = 2 - v + e = 2 - 9 + 15 = 8.\]

Выпишем границу каждой области.

- Треугольник с вершинами \(A\), \(B\), \(F\) ограничен рёбрами \(AB\), \(BF\), \(FA\) — степень 3.
- Треугольник с вершинами \(B\), \(F\), \(G\) ограничен рёбрами \(BF\), \(FG\), \(GB\) — степень 3.
- Область под ребром \(AC\) ограничена самим этим ребром и ломаной из рёбер \(CH\), \(HG\), \(GB\), \(BA\) — всего 5 рёбер, степень 5.
- Треугольник с вершинами \(C\), \(D\), \(I\) ограничен рёбрами \(CD\), \(DI\), \(IC\) — степень 3.
- Треугольник с вершинами \(C\), \(H\), \(I\) ограничен рёбрами \(CH\), \(HI\), \(IC\) — степень 3.
- Треугольник с вершинами \(D\), \(E\), \(I\) ограничен рёбрами \(DE\), \(EI\), \(ID\) — степень 3.
- Область между вершинами \(H\), \(I\), \(E\) ограничена рёбрами \(HI\), \(IE\) и \(EH\) — степень 3.
- Внешняя область обходится по рёбрам \(AC\), \(CD\), \(DE\), \(EH\), \(HG\), \(GF\), \(FA\) — всего 7 рёбер, степень 7.

Проверка: сумма степеней областей равна \(3 + 3 + 5 + 3 + 3 + 3 + 3 + 7 = 30\), и это ровно удвоенное число рёбер \(2 \cdot 15 = 30\).

Ответ: граф делит плоскость на 8 областей; степени семи конечных областей равны 3, 3, 5, 3, 3, 3, 3, степень внешней области равна 7.