Страница 14 номер 10, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
16 сотрудников
без Александра медианная зарплата \(47\,000\) р.
без Владимира медианная зарплата \(51\,000\) р.

Найти: медианную зарплату всех 16 сотрудников.

Решение:

Расположим все 16 зарплат по возрастанию и обозначим их \(x_1 \leqslant x_2 \leqslant \ldots \leqslant x_{16}\).

Если один сотрудник уволится, останется 15 зарплат. При 15 числах хотя бы половина — это хотя бы восемь чисел, поэтому медианой служит восьмое число нового вариационного ряда.

Если уволившийся занимал в старом ряду одно из первых восьми мест, то из первой восьмёрки выбывает одно число, а его место занимает \(x_9\): новая медиана равна \(x_9\).

Если уволившийся занимал одно из мест с девятого по шестнадцатое, то первые восемь чисел старого ряда не меняются, и новая медиана равна \(x_8\).

Значит, после увольнения одного сотрудника медианная зарплата равна либо \(x_8\), либо \(x_9\). По условию получились значения \(47\,000\) р. и \(51\,000\) р., а так как \(x_8 \leqslant x_9\), то \(x_8 = 47\,000\) р. и \(x_9 = 51\,000\) р.

Сейчас в списке 16 зарплат, и медианой служит любое число \(m\), для которого хотя бы восемь зарплат не больше \(m\) и хотя бы восемь зарплат не меньше \(m\). Не больше \(m\) окажется восемь зарплат \(x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_8\) ровно при \(m \geqslant x_8\), а не меньше \(m\) окажется восемь зарплат \(x_9,\ x_{10},\ \ldots,\ x_{16}\) ровно при \(m \leqslant x_9\). Значит, медианой является любое число от \(47\,000\) до \(51\,000\) р.

Чтобы устранить неоднозначность, по соглашению за медиану берут полусумму двух серединных чисел:

\[\frac{47\,000 + 51\,000}{2} = 49\,000 \text{ (р.)}.\]

Ответ: медианной зарплатой служит любое значение от \(47\,000\) до \(51\,000\) р., а по соглашению о полусумме двух серединных значений она равна \(49\,000\) р.