Страница 31 номер 99, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Приведите формулу \(y = \frac{x^2}{5} - x + \frac{1}{2}\) к виду \(y = a(x - m)^2 + n\) и найдите координаты вершины параболы, заданной этой формулой. Постройте эту параболу.
В скобках прибавим и вычтем \(\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}\): \[\begin{aligned} &\frac{x^2}{5} - x + \frac{1}{2} = \frac{1}{5}(x^2 - 5x) + \frac{1}{2} = \frac{1}{5}\left(x^2 - 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4}\right) + \frac{1}{2} = {} \\ &= \frac{1}{5}\left(x^2 - 5x + \frac{25}{4}\right) - \frac{5}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{5}\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{3}{4}. \end{aligned}\] Здесь \(\frac{1}{5} \cdot \frac{25}{4} = \frac{5}{4}\) и \(-\frac{5}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{5}{4} + \frac{2}{4} = -\frac{3}{4}\).
Формула принимает вид \(y = \frac{1}{5}\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{3}{4}\), где \(a = \frac{1}{5}\), \(m = \frac{5}{2}\), \(n = -\frac{3}{4}\), поэтому вершина параболы — точка \(\left(\frac{5}{2}; -\frac{3}{4}\right)\).
Парабола \(y = \frac{1}{5}x^2\) получается сжатием параболы \(y = x^2\) вдоль оси ординат в 5 раз.
Парабола \(y = \frac{1}{5}\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{3}{4}\) получается из параболы \(y = \frac{1}{5}x^2\) сдвигом на \(\frac{5}{2}\) единицы вправо и на \(\frac{3}{4}\) единицы вниз; её ветви направлены вверх, так как \(a = \frac{1}{5} > 0\).
Ответ: \(y = \frac{1}{5}\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{3}{4}\); вершина параболы — \(\left(\frac{5}{2}; -\frac{3}{4}\right)\).
Приведите формулу \(y = \frac{x^2}{5} - x + \frac{1}{2}\) к виду \(y = a(x - m)^2 + n\) и найдите координаты вершины параболы, заданной этой формулой. Постройте эту параболу.
Выделим полный квадрат. Вынесем множитель \(\frac{1}{5}\) за скобки у первых двух слагаемых; коэффициент при \(x\) в скобках равен \(-5 = -2 \cdot \frac{5}{2}\), поэтому прибавим и вычтем \(\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}\): \[\begin{aligned} &\frac{x^2}{5} - x + \frac{1}{2} = \frac{1}{5}(x^2 - 5x) + \frac{1}{2} = \frac{1}{5}\left(x^2 - 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4}\right) + \frac{1}{2} = {} \\ &= \frac{1}{5}\left(x^2 - 5x + \frac{25}{4}\right) - \frac{5}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{5}\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{3}{4}. \end{aligned}\] Здесь \(\frac{1}{5} \cdot \frac{25}{4} = \frac{5}{4}\) и \(-\frac{5}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{5}{4} + \frac{2}{4} = -\frac{3}{4}\).
Формула принимает вид \(y = \frac{1}{5}\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{3}{4}\), где \(a = \frac{1}{5}\), \(m = \frac{5}{2}\), \(n = -\frac{3}{4}\). Вершина параболы \(y = a(x - m)^2 + n\) находится в точке \((m; n)\), то есть в точке \(\left(\frac{5}{2}; -\frac{3}{4}\right)\).
Парабола \(y = \frac{1}{5}x^2\) получается сжатием параболы \(y = x^2\) вдоль оси ординат в 5 раз: при каждом \(x\) значение \(\frac{1}{5}x^2\) в 5 раз меньше значения \(x^2\). Парабола \(y = \frac{1}{5}\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{3}{4}\) получается из параболы \(y = \frac{1}{5}x^2\) сдвигом на \(\frac{5}{2}\) единицы вправо и на \(\frac{3}{4}\) единицы вниз; её ветви направлены вверх, так как \(a = \frac{1}{5} > 0\).
Ответ: \(y = \frac{1}{5}\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{3}{4}\); вершина параболы — \(\left(\frac{5}{2}; -\frac{3}{4}\right)\).
