Страница 31 номер 97, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выделите полный квадрат из правой части формулы \(y = x^2 + 10x + 28\) и найдите координаты вершины параболы, заданной этой формулой. Постройте эту параболу.
\[x^2 + 10x + 28 = x^2 + 2 \cdot 5x + 5^2 - 5^2 + 28 = (x + 5)^2 + 3.\] Формула принимает вид \(y = (x + 5)^2 + 3\), где \(m = -5\), \(n = 3\), поэтому вершина параболы — точка \((-5; 3)\).
Парабола \(y = (x + 5)^2 + 3\) получается из параболы \(y = x^2\) сдвигом на 5 единиц влево и на 3 единицы вверх, её ветви направлены вверх.
\((x + 5)^2 \geqslant 0\), поэтому все значения функции не меньше 3 и ось \(x\) парабола не пересекает.
Ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0; 28)\).
Ответ: \(y = (x + 5)^2 + 3\); вершина параболы — \((-5; 3)\).
Выделите полный квадрат из правой части формулы \(y = x^2 + 10x + 28\) и найдите координаты вершины параболы, заданной этой формулой. Постройте эту параболу.
В выражении \(x^2 + 10x + 28\) коэффициент при \(x^2\) равен 1, а коэффициент при \(x\) равен \(10 = 2 \cdot 5\). Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя \(5^2\): \[x^2 + 10x + 28 = x^2 + 2 \cdot 5x + 5^2 - 5^2 + 28 = (x + 5)^2 + 3.\] Формула принимает вид \(y = (x + 5)^2 + 3\). Вершина параболы \(y = a(x - m)^2 + n\) находится в точке \((m; n)\); здесь \(m = -5\), \(n = 3\), поэтому вершина — точка \((-5; 3)\).
Парабола \(y = (x + 5)^2 + 3\) получается из параболы \(y = x^2\) сдвигом на 5 единиц влево и на 3 единицы вверх. Её ветви направлены вверх, а все значения функции не меньше 3, так как \((x + 5)^2 \geqslant 0\); поэтому ось \(x\) парабола не пересекает, а ось \(y\) пересекает в точке \((0; 28)\).
Ответ: \(y = (x + 5)^2 + 3\); вершина параболы — \((-5; 3)\).
