Страница 176 номер 782, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

а) Поскольку \((6 - x)^2 = (x - 6)^2\) и \(\sqrt{5}(6 - x) = -\sqrt{5}(x - 6)\), неравенство можно записать в виде \((x - 6)^2 \leqslant -\sqrt{5}(x - 6)\). Перенесём все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель \(x - 6\) за скобки: \[\begin{aligned} (x - 6)^2 + \sqrt{5}(x - 6) &\leqslant 0; \\ (x - 6)(x - 6 + \sqrt{5}) &\leqslant 0. \end{aligned}\] Решим полученное неравенство методом интервалов. Множители обращаются в нуль при \(x = 6\) и при \(x = 6 - \sqrt{5}\), причём \(6 - \sqrt{5} < 6\). При \(x > 6\) оба множителя \(x - 6\) и \(x - 6 + \sqrt{5}\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из точек \(6 - \sqrt{5}\) и 6 меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((6 - \sqrt{5}; 6)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; 6 - \sqrt{5})\) — положительно.

Неравенство нестрогое, поэтому числа \(6 - \sqrt{5}\) и 6, при которых произведение равно нулю, входят в множество решений. Отметим их на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:

Значит, множество решений неравенства — промежуток \([6 - \sqrt{5}; 6]\).

б) Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов: \((x - 1)^2 - 25 = (x - 1 - 5)(x - 1 + 5) = (x - 6)(x + 4)\). Неравенство примет вид \[\frac{x + 6}{(x - 6)(x + 4)} \leqslant 0.\] Решим его методом интервалов. Числитель обращается в нуль при \(x = -6\), знаменатель — при \(x = 6\) и при \(x = -4\). При \(x > 6\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через каждую из трёх точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак дроби меняется: на промежутке \((-4; 6)\) дробь отрицательна, на \((-6; -4)\) — положительна, на \((-\infty; -6)\) — отрицательна.

Неравенство нестрогое, поэтому число \(-6\), при котором числитель равен нулю, входит в множество решений. Числа \(-4\) и 6 обращают знаменатель в нуль: при них дробь не имеет смысла, поэтому они в множество решений не входят. Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:

Значит, множество решений неравенства — \((-\infty; -6] \cup (-4; 6)\).

в) Разложим числитель и знаменатель на множители. По теореме, обратной теореме Виета, числа \(-5\) и 3 — корни трёхчлена \(x^2 + 2x - 15\) (\(-5 + 3 = -2\), \(-5 \cdot 3 = -15\)), а числа \(-1\) и 5 — корни трёхчлена \(x^2 - 4x - 5\) (\(-1 + 5 = 4\), \(-1 \cdot 5 = -5\)). Поэтому \(x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)\), \(x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5)\), и неравенство примет вид \[\frac{(x + 5)(x - 3)}{(x + 1)(x - 5)} \leqslant 0.\] Решим его методом интервалов. Числитель обращается в нуль при \(x = -5\) и при \(x = 3\), знаменатель — при \(x = -1\) и при \(x = 5\). При \(x > 5\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через каждую из четырёх точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак дроби меняется: на промежутке \((3; 5)\) дробь отрицательна, на \((-1; 3)\) — положительна, на \((-5; -1)\) — отрицательна, на \((-\infty; -5)\) — положительна.

Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-5\) и 3, при которых числитель равен нулю, входят в множество решений. Числа \(-1\) и 5 обращают знаменатель в нуль: при них дробь не имеет смысла, поэтому они в множество решений не входят. Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:

Значит, множество решений неравенства — \([-5; -1) \cup [3; 5)\).

Ответ: а) \([6 - \sqrt{5}; 6]\); б) \((-\infty; -6] \cup (-4; 6)\); в) \([-5; -1) \cup [3; 5)\).