Страница 176 номер 781, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство: а) \((3 - x)^2 \le 5(3 - x)\); б) \(\frac{x + 1}{x - 2} \ge \frac{3x + 1}{x + 3}\); в) \(\frac{x^2 - 8x + 7}{x^2 - 2x - 8} \ge 0\).
а) \((3 - x)^2 = (x - 3)^2\) и \(5(3 - x) = -5(x - 3)\), поэтому неравенство можно записать в виде \((x - 3)^2 \leqslant -5(x - 3)\). \[\begin{aligned} (x - 3)^2 + 5(x - 3) &\leqslant 0; \\ (x - 3)(x - 3 + 5) &\leqslant 0; \\ (x - 3)(x + 2) &\leqslant 0. \end{aligned}\] Множители обращаются в нуль при \(x = 3\) и при \(x = -2\). При \(x > 3\) оба множителя \(x - 3\) и \(x + 2\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из точек \(-2\) и 3 меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-2; 3)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; -2)\) — положительно.
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-2\) и 3 входят в множество решений.
Значит, множество решений неравенства — промежуток \([-2; 3]\).
б) Неравенство имеет смысл при \(x \neq 2\) и \(x \neq -3\). При умножении на отрицательное число \(-1\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} \frac{x + 1}{x - 2} - \frac{3x + 1}{x + 3} &\geqslant 0; \\ \frac{(x + 1)(x + 3) - (3x + 1)(x - 2)}{(x - 2)(x + 3)} &\geqslant 0; \\ \frac{x^2 + 4x + 3 - 3x^2 + 5x + 2}{(x - 2)(x + 3)} &\geqslant 0; \\ \frac{-2x^2 + 9x + 5}{(x - 2)(x + 3)} &\geqslant 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{2x^2 - 9x - 5}{(x - 2)(x + 3)} &\leqslant 0. \end{aligned}\] Корни квадратного трёхчлена \(2x^2 - 9x - 5\): \[\begin{aligned} D &= (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121; \\ x_1 &= \frac{9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 11}{4} = -0{,}5; \\ x_2 &= \frac{9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 11}{4} = 5. \end{aligned}\] Значит, \(2x^2 - 9x - 5 = 2(x + 0{,}5)(x - 5) = (2x + 1)(x - 5)\), и неравенство примет вид \[\frac{(2x + 1)(x - 5)}{(x - 2)(x + 3)} \leqslant 0.\] Числитель обращается в нуль при \(x = -0{,}5\) и при \(x = 5\), знаменатель — при \(x = 2\) и при \(x = -3\). При \(x > 5\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через каждую из четырёх точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак дроби меняется: на промежутке \((2; 5)\) дробь отрицательна, на \((-0{,}5; 2)\) — положительна, на \((-3; -0{,}5)\) — отрицательна, на \((-\infty; -3)\) — положительна.
Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя \(-0{,}5\) и 5 входят в множество решений, а нули знаменателя \(-3\) и 2 не входят: при них дробь не имеет смысла.
Значит, множество решений неравенства — \((-3; -0{,}5] \cup (2; 5]\).
в) Числа 1 и 7 — корни трёхчлена \(x^2 - 8x + 7\) (\(1 + 7 = 8\), \(1 \cdot 7 = 7\)), а числа \(-2\) и 4 — корни трёхчлена \(x^2 - 2x - 8\) (\(-2 + 4 = 2\), \(-2 \cdot 4 = -8\)). Поэтому \(x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)\), \(x^2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4)\), и неравенство примет вид \[\frac{(x - 1)(x - 7)}{(x + 2)(x - 4)} \geqslant 0.\] Числитель обращается в нуль при \(x = 1\) и при \(x = 7\), знаменатель — при \(x = -2\) и при \(x = 4\). При \(x > 7\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через каждую из четырёх точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак дроби меняется: на промежутке \((4; 7)\) дробь отрицательна, на \((1; 4)\) — положительна, на \((-2; 1)\) — отрицательна, на \((-\infty; -2)\) — положительна.
Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя 1 и 7 входят в множество решений, а нули знаменателя \(-2\) и 4 не входят: при них дробь не имеет смысла.
Значит, множество решений неравенства — \((-\infty; -2) \cup [1; 4) \cup [7; +\infty)\).
Ответ: а) \([-2; 3]\); б) \((-3; -0{,}5] \cup (2; 5]\); в) \((-\infty; -2) \cup [1; 4) \cup [7; +\infty)\).
Решите неравенство: а) \((3 - x)^2 \le 5(3 - x)\); б) \(\frac{x + 1}{x - 2} \ge \frac{3x + 1}{x + 3}\); в) \(\frac{x^2 - 8x + 7}{x^2 - 2x - 8} \ge 0\).
а) Поскольку \((3 - x)^2 = (x - 3)^2\) и \(5(3 - x) = -5(x - 3)\), неравенство можно записать в виде \((x - 3)^2 \leqslant -5(x - 3)\). Перенесём все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель \(x - 3\) за скобки: \[\begin{aligned} (x - 3)^2 + 5(x - 3) &\leqslant 0; \\ (x - 3)(x - 3 + 5) &\leqslant 0; \\ (x - 3)(x + 2) &\leqslant 0. \end{aligned}\] Решим полученное неравенство методом интервалов. Множители обращаются в нуль при \(x = 3\) и при \(x = -2\). При \(x > 3\) оба множителя \(x - 3\) и \(x + 2\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из точек \(-2\) и 3 меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-2; 3)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; -2)\) — положительно.
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-2\) и 3, при которых произведение равно нулю, входят в множество решений. Отметим их на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Значит, множество решений неравенства — промежуток \([-2; 3]\).
б) Неравенство имеет смысл при \(x \neq 2\) и \(x \neq -3\). Перенесём дробь из правой части в левую, приведём дроби к общему знаменателю \((x - 2)(x + 3)\) и умножим обе части неравенства на \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} \frac{x + 1}{x - 2} - \frac{3x + 1}{x + 3} &\geqslant 0; \\ \frac{(x + 1)(x + 3) - (3x + 1)(x - 2)}{(x - 2)(x + 3)} &\geqslant 0; \\ \frac{x^2 + 4x + 3 - 3x^2 + 5x + 2}{(x - 2)(x + 3)} &\geqslant 0; \\ \frac{-2x^2 + 9x + 5}{(x - 2)(x + 3)} &\geqslant 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{2x^2 - 9x - 5}{(x - 2)(x + 3)} &\leqslant 0. \end{aligned}\] Найдём корни квадратного трёхчлена \(2x^2 - 9x - 5\): \[\begin{aligned} D &= (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121; \\ x_1 &= \frac{9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 11}{4} = -0{,}5; \\ x_2 &= \frac{9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 11}{4} = 5. \end{aligned}\] Значит, \(2x^2 - 9x - 5 = 2(x + 0{,}5)(x - 5) = (2x + 1)(x - 5)\), и неравенство примет вид \[\frac{(2x + 1)(x - 5)}{(x - 2)(x + 3)} \leqslant 0.\] Решим его методом интервалов. Числитель обращается в нуль при \(x = -0{,}5\) и при \(x = 5\), знаменатель — при \(x = 2\) и при \(x = -3\). При \(x > 5\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через каждую из четырёх точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак дроби меняется: на промежутке \((2; 5)\) дробь отрицательна, на \((-0{,}5; 2)\) — положительна, на \((-3; -0{,}5)\) — отрицательна, на \((-\infty; -3)\) — положительна.
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-0{,}5\) и 5, при которых числитель равен нулю, входят в множество решений. Числа \(-3\) и 2 обращают знаменатель в нуль: при них дробь не имеет смысла, поэтому они в множество решений не входят. Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Значит, множество решений неравенства — \((-3; -0{,}5] \cup (2; 5]\).
в) Разложим числитель и знаменатель на множители. По теореме, обратной теореме Виета, числа 1 и 7 — корни трёхчлена \(x^2 - 8x + 7\) (\(1 + 7 = 8\), \(1 \cdot 7 = 7\)), а числа \(-2\) и 4 — корни трёхчлена \(x^2 - 2x - 8\) (\(-2 + 4 = 2\), \(-2 \cdot 4 = -8\)). Поэтому \(x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)\), \(x^2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4)\), и неравенство примет вид \[\frac{(x - 1)(x - 7)}{(x + 2)(x - 4)} \geqslant 0.\] Решим его методом интервалов. Числитель обращается в нуль при \(x = 1\) и при \(x = 7\), знаменатель — при \(x = -2\) и при \(x = 4\). При \(x > 7\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через каждую из четырёх точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак дроби меняется: на промежутке \((4; 7)\) дробь отрицательна, на \((1; 4)\) — положительна, на \((-2; 1)\) — отрицательна, на \((-\infty; -2)\) — положительна.
Неравенство нестрогое, поэтому числа 1 и 7, при которых числитель равен нулю, входят в множество решений. Числа \(-2\) и 4 обращают знаменатель в нуль: при них дробь не имеет смысла, поэтому они в множество решений не входят. Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Значит, множество решений неравенства — \((-\infty; -2) \cup [1; 4) \cup [7; +\infty)\).
Ответ: а) \([-2; 3]\); б) \((-3; -0{,}5] \cup (2; 5]\); в) \((-\infty; -2) \cup [1; 4) \cup [7; +\infty)\).
