Страница 175 номер 780, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \((x^2 - 7x + 12)^2 + (x^2 - 3x - 4)^2 = 0\); б) \(x^2 - x + \sqrt{3x - 6} = 20 + \sqrt{3x - 6}\); в) \(\sqrt{2 - x} \cdot (x^2 + 4x - 21) = 0\); г) \(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 23} = 6\).
а) Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому сумма квадратов двух выражений равна нулю тогда и только тогда, когда оба выражения равны нулю: \[\begin{cases} x^2 - 7x + 12 = 0, \\ x^2 - 3x - 4 = 0. \end{cases}\] Корнями первого уравнения системы являются числа 3 и 4 (\(3 + 4 = 7\), \(3 \cdot 4 = 12\)), а корнями второго уравнения — числа \(-1\) и 4 (\(-1 + 4 = 3\), \(-1 \cdot 4 = -4\)). Общий корень у этих уравнений один — число 4, поэтому уравнение имеет единственное решение \(x = 4\).
б) Выражение \(\sqrt{3x - 6}\) определено при \(3x - 6 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 2\). \[\begin{aligned} x^2 - x + \sqrt{3x - 6} &= 20 + \sqrt{3x - 6}; \qquad | -\sqrt{3x - 6} \\ x^2 - x &= 20; \\ x^2 - x - 20 &= 0. \end{aligned}\] Корнями этого уравнения являются числа \(-4\) и 5 (\(-4 + 5 = 1\), \(-4 \cdot 5 = -20\)). Условие \(x \geqslant 2\) выполняется только для \(x = 5\): при \(x = -4\) подкоренное выражение \(3x - 6\) равно \(-18\), и выражение \(\sqrt{3x - 6}\) не имеет смысла. Значит, уравнение имеет единственный корень 5.
в) Множитель \(\sqrt{2 - x}\) имеет смысл при \(2 - x \geqslant 0\), то есть при \(x \leqslant 2\).
Первый множитель равен нулю, если \(2 - x = 0\), то есть при \(x = 2\).
Второй множитель равен нулю, если \(x^2 + 4x - 21 = 0\). Корнями этого уравнения являются числа \(-7\) и 3 (\(-7 + 3 = -4\), \(-7 \cdot 3 = -21\)). Число \(-7\) удовлетворяет условию \(x \leqslant 2\), а число 3 — нет: при \(x = 3\) подкоренное выражение \(2 - x\) равно \(-1\), первый множитель не имеет смысла, поэтому 3 — не корень уравнения.
Значит, корни уравнения — числа \(-7\) и 2.
г) Выражение \(\sqrt{x - 1}\) определено при \(x \geqslant 1\), а выражение \(\sqrt{x + 23}\) — при \(x \geqslant -23\), поэтому левая часть уравнения определена при \(x \geqslant 1\).
Функции \(p(x) = \sqrt{x - 1}\) и \(q(x) = \sqrt{x + 23}\) возрастают на промежутке \([1; +\infty)\), поэтому их сумма \(f(x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 23}\) возрастает на этом промежутке и каждое своё значение принимает не больше одного раза. Следовательно, уравнение \(f(x) = 6\) имеет не больше одного корня.
Число 2 является корнем уравнения: \(\sqrt{2 - 1} + \sqrt{2 + 23} = \sqrt{1} + \sqrt{25} = 1 + 5 = 6\). Значит, единственным корнем уравнения является число 2.
Ответ: а) \(4\); б) \(5\); в) \(-7\); \(2\); г) \(2\).
Решите уравнение: а) \((x^2 - 7x + 12)^2 + (x^2 - 3x - 4)^2 = 0\); б) \(x^2 - x + \sqrt{3x - 6} = 20 + \sqrt{3x - 6}\); в) \(\sqrt{2 - x} \cdot (x^2 + 4x - 21) = 0\); г) \(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 23} = 6\).
а) Уравнение имеет следующий вид: сумма квадратов двух выражений равна нулю. Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому такая сумма равна нулю тогда и только тогда, когда оба выражения равны нулю. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений \[\begin{cases} x^2 - 7x + 12 = 0, \\ x^2 - 3x - 4 = 0. \end{cases}\] По теореме, обратной теореме Виета, корнями первого уравнения системы являются числа 3 и 4 (\(3 + 4 = 7\), \(3 \cdot 4 = 12\)), а корнями второго уравнения — числа \(-1\) и 4 (\(-1 + 4 = 3\), \(-1 \cdot 4 = -4\)). Общий корень у этих уравнений один — число 4. Следовательно, система уравнений, а значит, и исходное уравнение, имеет единственное решение \(x = 4\).
б) Выражение \(\sqrt{3x - 6}\) определено при \(3x - 6 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 2\). При этом условии вычтем из обеих частей уравнения \(\sqrt{3x - 6}\): \[\begin{aligned} x^2 - x + \sqrt{3x - 6} &= 20 + \sqrt{3x - 6}; \qquad | -\sqrt{3x - 6} \\ x^2 - x &= 20; \\ x^2 - x - 20 &= 0. \end{aligned}\] По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа \(-4\) и 5 (\(-4 + 5 = 1\), \(-4 \cdot 5 = -20\)). Условие \(x \geqslant 2\) выполняется только для \(x = 5\): при \(x = -4\) подкоренное выражение \(3x - 6\) равно \(-18\), и выражение \(\sqrt{3x - 6}\) не имеет смысла. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень 5.
в) Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Множитель \(\sqrt{2 - x}\) имеет смысл при \(2 - x \geqslant 0\), то есть при \(x \leqslant 2\); множитель \(x^2 + 4x - 21\) имеет смысл при любом \(x\).
Первый множитель равен нулю, если \(2 - x = 0\), то есть при \(x = 2\).
Второй множитель равен нулю, если \(x^2 + 4x - 21 = 0\). По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа \(-7\) и 3 (\(-7 + 3 = -4\), \(-7 \cdot 3 = -21\)). Число \(-7\) удовлетворяет условию \(x \leqslant 2\), а число 3 — нет: при \(x = 3\) подкоренное выражение \(2 - x\) равно \(-1\), первый множитель не имеет смысла, поэтому 3 — не корень уравнения.
Значит, корни исходного уравнения — числа \(-7\) и 2.
г) Выражение \(\sqrt{x - 1}\) определено при \(x \geqslant 1\), а выражение \(\sqrt{x + 23}\) — при \(x \geqslant -23\). Значит, левая часть уравнения определена при \(x \geqslant 1\).
Функция \(y = \sqrt{x}\) возрастает на промежутке \([0; +\infty)\): большему неотрицательному числу соответствует больший квадратный корень. При увеличении \(x\) подкоренные выражения \(x - 1\) и \(x + 23\) тоже увеличиваются, поэтому функции \(p(x) = \sqrt{x - 1}\) и \(q(x) = \sqrt{x + 23}\) возрастают на промежутке \([1; +\infty)\). Функция \(f(x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 23}\) возрастает на этом промежутке как сумма двух возрастающих функций, поэтому каждое своё значение она принимает не больше одного раза. Следовательно, уравнение \(f(x) = 6\) имеет не больше одного корня.
Число 2 является корнем уравнения: \(\sqrt{2 - 1} + \sqrt{2 + 23} = \sqrt{1} + \sqrt{25} = 1 + 5 = 6\). Значит, единственным корнем уравнения является число 2.
Ответ: а) \(4\); б) \(5\); в) \(-7\); \(2\); г) \(2\).
