Страница 175 номер 779, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \((x^2 + 6x + 5)^2 + (x^2 - 16)^2 = 0\); б) \(x^2 + 10x + \sqrt{x + 3} = 11 + \sqrt{x + 3}\); в) \(\sqrt{5 - x} \cdot (x^2 + x - 30) = 0\); г) \(x^6 = (x + 6)^3\).
а) Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому сумма квадратов двух выражений равна нулю тогда и только тогда, когда оба выражения равны нулю: \[\begin{cases} x^2 + 6x + 5 = 0, \\ x^2 - 16 = 0. \end{cases}\] Корнями первого уравнения системы являются числа \(-5\) и \(-1\) (\(-5 + (-1) = -6\), \(-5 \cdot (-1) = 5\)), а корнями второго уравнения — числа \(-4\) и 4, так как \(x^2 = 16\). Общих корней у этих уравнений нет, поэтому уравнение не имеет решений.
б) Выражение \(\sqrt{x + 3}\) определено при \(x + 3 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant -3\). \[\begin{aligned} x^2 + 10x + \sqrt{x + 3} &= 11 + \sqrt{x + 3}; \qquad | -\sqrt{x + 3} \\ x^2 + 10x &= 11; \\ x^2 + 10x - 11 &= 0. \end{aligned}\] Корнями этого уравнения являются числа \(-11\) и 1 (\(-11 + 1 = -10\), \(-11 \cdot 1 = -11\)). Условие \(x \geqslant -3\) выполняется только для \(x = 1\): при \(x = -11\) подкоренное выражение \(x + 3\) равно \(-8\), и выражение \(\sqrt{x + 3}\) не имеет смысла. Значит, уравнение имеет единственный корень 1.
в) Множитель \(\sqrt{5 - x}\) имеет смысл при \(5 - x \geqslant 0\), то есть при \(x \leqslant 5\).
Первый множитель равен нулю, если \(5 - x = 0\), то есть при \(x = 5\).
Второй множитель равен нулю, если \(x^2 + x - 30 = 0\). Корнями этого уравнения являются числа \(-6\) и 5 (\(-6 + 5 = -1\), \(-6 \cdot 5 = -30\)). Оба числа удовлетворяют условию \(x \leqslant 5\), поэтому при каждом из них первый множитель имеет смысл.
Значит, корни уравнения — числа \(-6\) и 5.
г) \(x^6 = (x^2)^3\), поэтому уравнение можно записать в виде \((x^2)^3 = (x + 6)^3\). Функция \(f(t) = t^3\) монотонно возрастает на всей числовой прямой, поэтому кубы двух выражений равны, только если сами выражения равны: \(x^2 = x + 6\), то есть \(x^2 - x - 6 = 0\). Корнями этого уравнения являются числа \(-2\) и 3 (\(-2 + 3 = 1\), \(-2 \cdot 3 = -6\)).
Ответ: а) решений нет; б) \(1\); в) \(-6\); \(5\); г) \(-2\); \(3\).
Решите уравнение: а) \((x^2 + 6x + 5)^2 + (x^2 - 16)^2 = 0\); б) \(x^2 + 10x + \sqrt{x + 3} = 11 + \sqrt{x + 3}\); в) \(\sqrt{5 - x} \cdot (x^2 + x - 30) = 0\); г) \(x^6 = (x + 6)^3\).
а) Уравнение имеет следующий вид: сумма квадратов двух выражений равна нулю. Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому такая сумма равна нулю тогда и только тогда, когда оба выражения равны нулю. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений \[\begin{cases} x^2 + 6x + 5 = 0, \\ x^2 - 16 = 0. \end{cases}\] По теореме, обратной теореме Виета, корнями первого уравнения системы являются числа \(-5\) и \(-1\) (\(-5 + (-1) = -6\), \(-5 \cdot (-1) = 5\)), а корнями второго уравнения — числа \(-4\) и 4, так как \(x^2 = 16\). Общих корней у этих уравнений нет. Следовательно, система уравнений, а значит, и исходное уравнение, не имеет решений.
б) Выражение \(\sqrt{x + 3}\) определено при \(x + 3 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant -3\). При этом условии вычтем из обеих частей уравнения \(\sqrt{x + 3}\): \[\begin{aligned} x^2 + 10x + \sqrt{x + 3} &= 11 + \sqrt{x + 3}; \qquad | -\sqrt{x + 3} \\ x^2 + 10x &= 11; \\ x^2 + 10x - 11 &= 0. \end{aligned}\] По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа \(-11\) и 1 (\(-11 + 1 = -10\), \(-11 \cdot 1 = -11\)). Условие \(x \geqslant -3\) выполняется только для \(x = 1\): при \(x = -11\) подкоренное выражение \(x + 3\) равно \(-8\), и выражение \(\sqrt{x + 3}\) не имеет смысла. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень 1.
в) Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Множитель \(\sqrt{5 - x}\) имеет смысл при \(5 - x \geqslant 0\), то есть при \(x \leqslant 5\); множитель \(x^2 + x - 30\) имеет смысл при любом \(x\).
Первый множитель равен нулю, если \(5 - x = 0\), то есть при \(x = 5\).
Второй множитель равен нулю, если \(x^2 + x - 30 = 0\). По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа \(-6\) и 5 (\(-6 + 5 = -1\), \(-6 \cdot 5 = -30\)). Оба числа удовлетворяют условию \(x \leqslant 5\), поэтому при каждом из них первый множитель имеет смысл.
Число 5 обращает в нуль оба множителя. Значит, корни исходного уравнения — числа \(-6\) и 5.
г) Заметим, что \(x^6 = (x^2)^3\), поэтому уравнение можно записать в виде \((x^2)^3 = (x + 6)^3\). Функция \(f(t) = t^3\) монотонно возрастает на всей числовой прямой, поэтому каждое своё значение она принимает ровно один раз: кубы двух выражений равны, только если сами выражения равны. Значит, уравнение \((x^2)^3 = (x + 6)^3\) равносильно уравнению \(x^2 = x + 6\), то есть \(x^2 - x - 6 = 0\). По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа \(-2\) и 3 (\(-2 + 3 = 1\), \(-2 \cdot 3 = -6\)).
Ответ: а) решений нет; б) \(1\); в) \(-6\); \(5\); г) \(-2\); \(3\).
