Страница 24 номер 78, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
На координатной плоскости изображены графики функций вида \(y = ax^2 + n\). Для каждого графика (рис. 23), обозначенного римской цифрой, сравните: а) \(a\) с нулём; б) \(|a|\) с 1; в) \(n\) с нулём.
Вершина параболы \(y = ax^2 + n\) — точка \((0; n)\) на оси \(y\). Сдвиг вдоль оси \(y\) ширины параболы не меняет, а парабола \(y = -x^2\) имеет ту же ширину, что и парабола \(y = x^2\), поэтому \(|a|\) сравниваем с 1 по тому, уже или шире парабола \(y = ax^2 + n\), чем штриховая парабола \(y = x^2\).
Парабола I: ветви направлены вниз, поэтому \(a < 0\); она уже параболы \(y = x^2\), поэтому \(|a| > 1\); вершина лежит на оси \(y\) выше начала координат, поэтому \(n > 0\).
Парабола II: ветви направлены вверх, поэтому \(a > 0\); она уже параболы \(y = x^2\), поэтому \(|a| > 1\); вершина лежит на оси \(y\) ниже начала координат, поэтому \(n < 0\).
Парабола III: ветви направлены вверх, поэтому \(a > 0\); она шире параболы \(y = x^2\), поэтому \(|a| < 1\); вершина лежит на оси \(y\) выше начала координат, поэтому \(n > 0\).
Парабола IV: ветви направлены вниз, поэтому \(a < 0\); она шире параболы \(y = x^2\), поэтому \(|a| < 1\); вершина — начало координат, поэтому \(n = 0\).
Ответ: I: \(a < 0\), \(|a| > 1\), \(n > 0\); II: \(a > 0\), \(|a| > 1\), \(n < 0\); III: \(a > 0\), \(|a| < 1\), \(n > 0\); IV: \(a < 0\), \(|a| < 1\), \(n = 0\).
На координатной плоскости изображены графики функций вида \(y = ax^2 + n\). Для каждого графика (рис. 23), обозначенного римской цифрой, сравните: а) \(a\) с нулём; б) \(|a|\) с 1; в) \(n\) с нулём.
Парабола \(y = ax^2 + n\) получается из параболы \(y = ax^2\) сдвигом вдоль оси \(y\) на \(|n|\) единиц, поэтому по её виду коэффициенты определяются так.
Если \(a > 0\), то ветви параболы направлены вверх, а если \(a < 0\) — вниз.
При \(|a| > 1\) парабола \(y = ax^2\) получается из параболы \(y = x^2\) (при \(a < 0\) — из параболы \(y = -x^2\)) растяжением вдоль оси ординат в \(|a|\) раз и поэтому уже её, а при \(|a| < 1\) — сжатием вдоль оси ординат и поэтому шире. Парабола \(y = -x^2\) симметрична параболе \(y = x^2\) относительно оси \(x\) и имеет ту же ширину, а сдвиг вдоль оси \(y\) ширины параболы не меняет. Поэтому \(|a|\) сравниваем с 1 по тому, уже или шире парабола \(y = ax^2 + n\), чем штриховая парабола \(y = x^2\) на рисунке, где бы ни лежала её вершина: уже — значит, \(|a| > 1\), шире — значит, \(|a| < 1\).
Ось \(y\) пересекает параболу \(y = ax^2 + n\) в точке \((0; n)\), и эта точка — вершина параболы. Поэтому \(n > 0\), если вершина лежит выше оси \(x\), \(n < 0\), если ниже, и \(n = 0\), если вершина — начало координат.
Рассмотрим параболу I. Её ветви направлены вниз, поэтому \(a < 0\). Она уже параболы \(y = x^2\), поэтому \(|a| > 1\). Её вершина лежит на оси \(y\) выше начала координат, поэтому \(n > 0\).
Рассмотрим параболу II. Её ветви направлены вверх, поэтому \(a > 0\). Она уже параболы \(y = x^2\), поэтому \(|a| > 1\). Её вершина лежит на оси \(y\) ниже начала координат, поэтому \(n < 0\).
Рассмотрим параболу III. Её ветви направлены вверх, поэтому \(a > 0\). Она шире параболы \(y = x^2\), поэтому \(|a| < 1\). Её вершина лежит на оси \(y\) выше начала координат, поэтому \(n > 0\).
Рассмотрим параболу IV. Её ветви направлены вниз, поэтому \(a < 0\). Она шире параболы \(y = x^2\), поэтому \(|a| < 1\). Её вершина — начало координат, поэтому \(n = 0\).
Ответ: I: \(a < 0\), \(|a| > 1\), \(n > 0\); II: \(a > 0\), \(|a| > 1\), \(n < 0\); III: \(a > 0\), \(|a| < 1\), \(n > 0\); IV: \(a < 0\), \(|a| < 1\), \(n = 0\).
