Страница 175 номер 778, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(\frac{2}{y^2} - \frac{5}{y} - 3 = 0\); б) \((x + 2)^4 - 4(x + 2)^2 - 5 = 0\); в) \(x^3 - 6x^2 - 4x + 24 = 0\); г) \(-x^{14} = (5x - 14)^7\); д) \(5(x + 3) = (x - 1)(x^2 + 6x + 9)\).
а) Уравнение имеет смысл при \(y \neq 0\). Пусть \(\frac{1}{y} = t\). Тогда \(\frac{2}{y^2} = 2t^2\), \(\frac{5}{y} = 5t\), и уравнение принимает вид \(2t^2 - 5t - 3 = 0\). \[\begin{aligned} D &= (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49; \\ t_1 &= \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = -0{,}5; \\ t_2 &= \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = 3. \end{aligned}\] При \(t = -0{,}5\) получаем \(\frac{1}{y} = -0{,}5\), откуда \(y = -2\).
При \(t = 3\) получаем \(\frac{1}{y} = 3\), откуда \(y = \frac{1}{3}\).
б) Пусть \((x + 2)^2 = a\). Тогда \((x + 2)^4 = a^2\), и уравнение принимает вид \(a^2 - 4a - 5 = 0\). Корнями этого уравнения являются числа \(-1\) и 5 (\(-1 + 5 = 4\), \(-1 \cdot 5 = -5\)).
При \(a = -1\) получаем \((x + 2)^2 = -1\) — корней нет: квадрат любого числа неотрицателен.
При \(a = 5\) получаем \((x + 2)^2 = 5\);
\(|x + 2| = \sqrt{5}\). Значит, \(x + 2 = -\sqrt{5}\) или \(x + 2 = \sqrt{5}\), откуда \(x = -2 - \sqrt{5}\) или \(x = -2 + \sqrt{5}\).
в) \[\begin{aligned} x^3 - 6x^2 - 4x + 24 &= 0; \\ x^2(x - 6) - 4(x - 6) &= 0; \\ (x - 6)(x^2 - 4) &= 0; \\ (x - 6)(x - 2)(x + 2) &= 0. \end{aligned}\] \(x - 6 = 0\), \(x - 2 = 0\) или \(x + 2 = 0\), поэтому корни уравнения — числа \(-2\), 2 и 6.
г) Число 7 нечётное, поэтому \((-x^2)^7 = -(x^2)^7 = -x^{14}\), и уравнение можно записать в виде \((-x^2)^7 = (5x - 14)^7\). Степенная функция \(f(t) = t^7\) с нечётным показателем монотонно возрастает на всей числовой прямой, поэтому седьмые степени двух выражений равны, только если сами выражения равны: \(-x^2 = 5x - 14\), то есть \(x^2 + 5x - 14 = 0\). Корнями этого уравнения являются числа \(-7\) и 2 (\(-7 + 2 = -5\), \(-7 \cdot 2 = -14\)).
д) \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\), поэтому уравнение можно записать в виде \((x - 1)(x + 3)^2 - 5(x + 3) = 0\). Делить обе части уравнения на \(x + 3\) нельзя: при \(x = -3\) этот множитель равен нулю. \[\begin{aligned} (x + 3)((x - 1)(x + 3) - 5) &= 0; \\ (x + 3)(x^2 + 2x - 3 - 5) &= 0; \\ (x + 3)(x^2 + 2x - 8) &= 0. \end{aligned}\] Если \(x + 3 = 0\), то \(x = -3\).
Если \(x^2 + 2x - 8 = 0\), то \(x = -4\) или \(x = 2\) (\(-4 + 2 = -2\), \(-4 \cdot 2 = -8\)).
Значит, корни уравнения — числа \(-4\), \(-3\) и 2.
Ответ: а) \(-2\); \(\frac{1}{3}\); б) \(-2 - \sqrt{5}\); \(-2 + \sqrt{5}\); в) \(-2\); \(2\); \(6\); г) \(-7\); \(2\); д) \(-4\); \(-3\); \(2\).
Решите уравнение: а) \(\frac{2}{y^2} - \frac{5}{y} - 3 = 0\); б) \((x + 2)^4 - 4(x + 2)^2 - 5 = 0\); в) \(x^3 - 6x^2 - 4x + 24 = 0\); г) \(-x^{14} = (5x - 14)^7\); д) \(5(x + 3) = (x - 1)(x^2 + 6x + 9)\).
а) Уравнение имеет смысл при \(y \neq 0\). Пусть \(\frac{1}{y} = t\). Тогда \(\frac{2}{y^2} = 2t^2\), \(\frac{5}{y} = 5t\), и уравнение принимает вид \(2t^2 - 5t - 3 = 0\). Найдём его корни: \[\begin{aligned} D &= (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49; \\ t_1 &= \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = -0{,}5; \\ t_2 &= \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = 3. \end{aligned}\] При \(t = -0{,}5\) получаем \(\frac{1}{y} = -0{,}5\), откуда \(y = -2\). При \(t = 3\) получаем \(\frac{1}{y} = 3\), откуда \(y = \frac{1}{3}\).
б) Пусть \((x + 2)^2 = a\). Тогда \((x + 2)^4 = a^2\), и уравнение принимает вид \(a^2 - 4a - 5 = 0\). По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа \(-1\) и 5 (\(-1 + 5 = 4\), \(-1 \cdot 5 = -5\)).
При \(a = -1\) получаем \((x + 2)^2 = -1\). Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому в этом случае корней нет.
При \(a = 5\) получаем \((x + 2)^2 = 5\);
\(|x + 2| = \sqrt{5}\). Значит, \(x + 2 = -\sqrt{5}\) или \(x + 2 = \sqrt{5}\), откуда \(x = -2 - \sqrt{5}\) или \(x = -2 + \sqrt{5}\).
в) Сгруппируем слагаемые, вынесем общие множители за скобки и разложим разность квадратов \(x^2 - 4\) на множители: \[\begin{aligned} x^3 - 6x^2 - 4x + 24 &= 0; \\ x^2(x - 6) - 4(x - 6) &= 0; \\ (x - 6)(x^2 - 4) &= 0; \\ (x - 6)(x - 2)(x + 2) &= 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x - 6 = 0\), \(x - 2 = 0\) или \(x + 2 = 0\). Значит, корни уравнения — числа \(-2\), 2 и 6.
г) Число 7 нечётное, поэтому \((-x^2)^7 = -(x^2)^7 = -x^{14}\), и уравнение можно записать в виде \((-x^2)^7 = (5x - 14)^7\). Функция \(f(t) = t^7\) — степенная функция с нечётным показателем, поэтому она монотонно возрастает на всей числовой прямой и каждое своё значение принимает ровно один раз: седьмые степени двух выражений равны, только если сами выражения равны. Значит, уравнение \((-x^2)^7 = (5x - 14)^7\) равносильно уравнению \(-x^2 = 5x - 14\), то есть \(x^2 + 5x - 14 = 0\). По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа \(-7\) и 2 (\(-7 + 2 = -5\), \(-7 \cdot 2 = -14\)).
д) Заметим, что \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\). Запишем уравнение в виде \((x - 1)(x + 3)^2 - 5(x + 3) = 0\) и вынесем общий множитель \(x + 3\) за скобки (делить обе части уравнения на \(x + 3\) нельзя: при \(x = -3\) этот множитель равен нулю): \[\begin{aligned} (x + 3)((x - 1)(x + 3) - 5) &= 0; \\ (x + 3)(x^2 + 2x - 3 - 5) &= 0; \\ (x + 3)(x^2 + 2x - 8) &= 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Если \(x + 3 = 0\), то \(x = -3\). Если \(x^2 + 2x - 8 = 0\), то по теореме, обратной теореме Виета, \(x = -4\) или \(x = 2\) (\(-4 + 2 = -2\), \(-4 \cdot 2 = -8\)). Значит, корни уравнения — числа \(-4\), \(-3\) и 2.
Ответ: а) \(-2\); \(\frac{1}{3}\); б) \(-2 - \sqrt{5}\); \(-2 + \sqrt{5}\); в) \(-2\); \(2\); \(6\); г) \(-7\); \(2\); д) \(-4\); \(-3\); \(2\).
