Страница 175 номер 777, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(\frac{1}{y^2} - \frac{5}{y} + 6 = 0\); б) \((3x - 2)^4 - 10 + 3(3x - 2)^2 = 0\); в) \(x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0\); г) \(x^6 = (6x - 5)^3\); д) \((x^2 - 4x + 4)x = 3(x - 2)\).
а) Уравнение имеет смысл при \(y \neq 0\). Пусть \(\frac{1}{y} = t\). Тогда \(\frac{1}{y^2} = t^2\), и уравнение принимает вид \(t^2 - 5t + 6 = 0\). Корнями этого уравнения являются числа 2 и 3 (\(2 + 3 = 5\), \(2 \cdot 3 = 6\)).
При \(t = 2\) получаем \(\frac{1}{y} = 2\), откуда \(y = \frac{1}{2} = 0{,}5\).
При \(t = 3\) получаем \(\frac{1}{y} = 3\), откуда \(y = \frac{1}{3}\).
б) Пусть \((3x - 2)^2 = a\). Тогда \((3x - 2)^4 = a^2\), и уравнение принимает вид \(a^2 - 10 + 3a = 0\), то есть \(a^2 + 3a - 10 = 0\). Корнями этого уравнения являются числа \(-5\) и 2 (\(-5 + 2 = -3\), \(-5 \cdot 2 = -10\)).
При \(a = -5\) получаем \((3x - 2)^2 = -5\) — корней нет: квадрат любого числа неотрицателен.
При \(a = 2\) получаем \((3x - 2)^2 = 2\);
\(|3x - 2| = \sqrt{2}\). Значит, \(3x - 2 = -\sqrt{2}\) или \(3x - 2 = \sqrt{2}\), откуда \(x = \frac{2 - \sqrt{2}}{3}\) или \(x = \frac{2 + \sqrt{2}}{3}\).
в) \[\begin{aligned} x^3 + 3x^2 - x - 3 &= 0; \\ x^2(x + 3) - (x + 3) &= 0; \\ (x + 3)(x^2 - 1) &= 0; \\ (x + 3)(x - 1)(x + 1) &= 0. \end{aligned}\] \(x + 3 = 0\), \(x - 1 = 0\) или \(x + 1 = 0\), поэтому корни уравнения — числа \(-3\), \(-1\) и 1.
г) \(x^6 = (x^2)^3\), поэтому уравнение можно записать в виде \((x^2)^3 = (6x - 5)^3\). Функция \(f(t) = t^3\) монотонно возрастает на всей числовой прямой, поэтому кубы двух выражений равны, только если сами выражения равны: \(x^2 = 6x - 5\), то есть \(x^2 - 6x + 5 = 0\). Корнями этого уравнения являются числа 1 и 5 (\(1 + 5 = 6\), \(1 \cdot 5 = 5\)).
д) \(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\). Делить обе части уравнения на \(x - 2\) нельзя: при \(x = 2\) этот множитель равен нулю. \[\begin{aligned} x(x - 2)^2 - 3(x - 2) &= 0; \\ (x - 2)(x(x - 2) - 3) &= 0; \\ (x - 2)(x^2 - 2x - 3) &= 0. \end{aligned}\] Если \(x - 2 = 0\), то \(x = 2\).
Если \(x^2 - 2x - 3 = 0\), то \(x = -1\) или \(x = 3\) (\(-1 + 3 = 2\), \(-1 \cdot 3 = -3\)).
Значит, корни уравнения — числа \(-1\), 2 и 3.
Ответ: а) \(\frac{1}{3}\); \(0{,}5\); б) \(\frac{2 - \sqrt{2}}{3}\); \(\frac{2 + \sqrt{2}}{3}\); в) \(-3\); \(-1\); \(1\); г) \(1\); \(5\); д) \(-1\); \(2\); \(3\).
Решите уравнение: а) \(\frac{1}{y^2} - \frac{5}{y} + 6 = 0\); б) \((3x - 2)^4 - 10 + 3(3x - 2)^2 = 0\); в) \(x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0\); г) \(x^6 = (6x - 5)^3\); д) \((x^2 - 4x + 4)x = 3(x - 2)\).
а) Уравнение имеет смысл при \(y \neq 0\). Пусть \(\frac{1}{y} = t\). Тогда \(\frac{1}{y^2} = t^2\), и уравнение принимает вид \(t^2 - 5t + 6 = 0\). По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа 2 и 3 (\(2 + 3 = 5\), \(2 \cdot 3 = 6\)).
При \(t = 2\) получаем \(\frac{1}{y} = 2\), откуда \(y = \frac{1}{2} = 0{,}5\). При \(t = 3\) получаем \(\frac{1}{y} = 3\), откуда \(y = \frac{1}{3}\).
б) Пусть \((3x - 2)^2 = a\). Тогда \((3x - 2)^4 = a^2\), и уравнение принимает вид \(a^2 - 10 + 3a = 0\), то есть \(a^2 + 3a - 10 = 0\). По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа \(-5\) и 2 (\(-5 + 2 = -3\), \(-5 \cdot 2 = -10\)).
При \(a = -5\) получаем \((3x - 2)^2 = -5\). Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому в этом случае корней нет.
При \(a = 2\) получаем \((3x - 2)^2 = 2\);
\(|3x - 2| = \sqrt{2}\). Значит, \(3x - 2 = -\sqrt{2}\) или \(3x - 2 = \sqrt{2}\), откуда \(x = \frac{2 - \sqrt{2}}{3}\) или \(x = \frac{2 + \sqrt{2}}{3}\).
в) Сгруппируем слагаемые, вынесем общие множители за скобки и разложим разность квадратов \(x^2 - 1\) на множители: \[\begin{aligned} x^3 + 3x^2 - x - 3 &= 0; \\ x^2(x + 3) - (x + 3) &= 0; \\ (x + 3)(x^2 - 1) &= 0; \\ (x + 3)(x - 1)(x + 1) &= 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x + 3 = 0\), \(x - 1 = 0\) или \(x + 1 = 0\). Значит, корни уравнения — числа \(-3\), \(-1\) и 1.
г) Заметим, что \(x^6 = (x^2)^3\), поэтому уравнение можно записать в виде \((x^2)^3 = (6x - 5)^3\). Функция \(f(t) = t^3\) монотонно возрастает на всей числовой прямой, поэтому каждое своё значение она принимает ровно один раз: кубы двух выражений равны, только если сами выражения равны. Значит, уравнение \((x^2)^3 = (6x - 5)^3\) равносильно уравнению \(x^2 = 6x - 5\), то есть \(x^2 - 6x + 5 = 0\). По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа 1 и 5 (\(1 + 5 = 6\), \(1 \cdot 5 = 5\)).
д) Заметим, что \(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\). Перенесём все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель \(x - 2\) за скобки (делить обе части уравнения на \(x - 2\) нельзя: при \(x = 2\) этот множитель равен нулю): \[\begin{aligned} x(x - 2)^2 - 3(x - 2) &= 0; \\ (x - 2)(x(x - 2) - 3) &= 0; \\ (x - 2)(x^2 - 2x - 3) &= 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Если \(x - 2 = 0\), то \(x = 2\). Если \(x^2 - 2x - 3 = 0\), то по теореме, обратной теореме Виета, \(x = -1\) или \(x = 3\) (\(-1 + 3 = 2\), \(-1 \cdot 3 = -3\)). Значит, корни уравнения — числа \(-1\), 2 и 3.
Ответ: а) \(\frac{1}{3}\); \(0{,}5\); б) \(\frac{2 - \sqrt{2}}{3}\); \(\frac{2 + \sqrt{2}}{3}\); в) \(-3\); \(-1\); \(1\); г) \(1\); \(5\); д) \(-1\); \(2\); \(3\).
