Страница 171 номер 769, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
а) Числа под знаками корней положительны, поэтому \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{18} \cdot \sqrt{90}}{\sqrt{45}} = \sqrt{\frac{18 \cdot 90}{45}} = \sqrt{\frac{18 \cdot 2 \cdot 45}{45}} = {} \\ &= \sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6. \end{aligned}\]
б) \[(\sqrt{15} - \sqrt{7})(\sqrt{15} + \sqrt{7}) = (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{7})^2 = 15 - 7 = 8.\]
в) Числа под знаками корней положительны, поэтому \[\begin{aligned} &\sqrt{8 \cdot 2^6} \cdot \sqrt{8 \cdot 5^4} = \sqrt{8 \cdot 2^6 \cdot 8 \cdot 5^4} = \sqrt{8^2 \cdot 2^6 \cdot 5^4} = {} \\ &= 8 \cdot 2^3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 8 \cdot 25 = 1600. \end{aligned}\]
г) \[\begin{aligned} &\sqrt{42 \cdot 75 \cdot 14} = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 2 \cdot 7} = {} \\ &= \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210. \end{aligned}\]
д) Для любого числа \(b\) верно \(\sqrt{b^2} = |b|\). Поскольку \(4\sqrt{2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32} < \sqrt{49} = 7\), разность \(4\sqrt{2} - 7\) отрицательна и её модуль равен \(7 - 4\sqrt{2}\): \[\begin{aligned} &\sqrt{(4\sqrt{2} - 7)^2} + 4\sqrt{2} = |4\sqrt{2} - 7| + 4\sqrt{2} = {} \\ &= 7 - 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 7. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(6\); б) \(8\); в) \(1600\); г) \(210\); д) \(7\).
а) Числа под знаками корней положительны, поэтому произведение корней равно корню из произведения, а частное корней — корню из частного: \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{18} \cdot \sqrt{90}}{\sqrt{45}} = \sqrt{\frac{18 \cdot 90}{45}} = \sqrt{\frac{18 \cdot 2 \cdot 45}{45}} = {} \\ &= \sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6. \end{aligned}\]
б) По формуле разности квадратов: \[(\sqrt{15} - \sqrt{7})(\sqrt{15} + \sqrt{7}) = (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{7})^2 = 15 - 7 = 8.\]
в) Произведение корней из положительных чисел равно корню из произведения: \[\begin{aligned} &\sqrt{8 \cdot 2^6} \cdot \sqrt{8 \cdot 5^4} = \sqrt{8 \cdot 2^6 \cdot 8 \cdot 5^4} = \sqrt{8^2 \cdot 2^6 \cdot 5^4} = {} \\ &= 8 \cdot 2^3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 8 \cdot 25 = 1600. \end{aligned}\]
г) Разложим множители под знаком корня на простые множители: \[\begin{aligned} &\sqrt{42 \cdot 75 \cdot 14} = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 2 \cdot 7} = {} \\ &= \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210. \end{aligned}\]
д) Для любого числа \(b\) верно \(\sqrt{b^2} = |b|\). Поскольку \(4\sqrt{2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}\), а \(\sqrt{32} < \sqrt{49} = 7\) (так как \(32 < 49\)), разность \(4\sqrt{2} - 7\) отрицательна, поэтому её модуль равен противоположному числу \(7 - 4\sqrt{2}\): \[\begin{aligned} &\sqrt{(4\sqrt{2} - 7)^2} + 4\sqrt{2} = |4\sqrt{2} - 7| + 4\sqrt{2} = {} \\ &= 7 - 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 7. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(6\); б) \(8\); в) \(1600\); г) \(210\); д) \(7\).
