Страница 171 номер 766, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
а) Числа под знаками корней положительны, поэтому \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{57} \cdot \sqrt{24}}{\sqrt{38}} = \sqrt{\frac{57 \cdot 24}{38}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 19 \cdot 2 \cdot 12}{2 \cdot 19}} = {} \\ &= \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6. \end{aligned}\]
б) Числа под знаками корней положительны, поэтому \[\begin{aligned} &4\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{39} = 8\sqrt{13 \cdot 3 \cdot 39} = {} \\ &= 8\sqrt{39^2} = 8 \cdot 39 = 312. \end{aligned}\]
в) \[(\sqrt{15} - \sqrt{14})(\sqrt{15} + \sqrt{14}) = (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{14})^2 = 15 - 14 = 1.\]
г) \[\begin{aligned} &\sqrt{55 \cdot 80 \cdot 11} = \sqrt{5 \cdot 11 \cdot 2^4 \cdot 5 \cdot 11} = {} \\ &= \sqrt{2^4 \cdot 5^2 \cdot 11^2} = 2^2 \cdot 5 \cdot 11 = 220. \end{aligned}\]
д) \[\begin{aligned} &\frac{1}{4 + \sqrt{15}} + \frac{1}{4 - \sqrt{15}} = \frac{4 - \sqrt{15} + 4 + \sqrt{15}}{(4 + \sqrt{15})(4 - \sqrt{15})} = {} \\ &= \frac{8}{4^2 - (\sqrt{15})^2} = \frac{8}{16 - 15} = \frac{8}{1} = 8. \end{aligned}\]
е) Для любого числа \(b\) верно \(\sqrt{b^2} = |b|\). Поскольку \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50} < \sqrt{64} = 8\), разность \(5\sqrt{2} - 8\) отрицательна и её модуль равен \(8 - 5\sqrt{2}\): \[\begin{aligned} &\sqrt{(5\sqrt{2} - 8)^2} + 5\sqrt{2} = |5\sqrt{2} - 8| + 5\sqrt{2} = {} \\ &= 8 - 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(6\); б) \(312\); в) \(1\); г) \(220\); д) \(8\); е) \(8\).
а) Числа под знаками корней положительны, поэтому произведение корней равно корню из произведения, а частное корней — корню из частного: \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{57} \cdot \sqrt{24}}{\sqrt{38}} = \sqrt{\frac{57 \cdot 24}{38}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 19 \cdot 2 \cdot 12}{2 \cdot 19}} = {} \\ &= \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6. \end{aligned}\]
б) Произведение корней из положительных чисел равно корню из произведения: \[\begin{aligned} &4\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{39} = 8\sqrt{13 \cdot 3 \cdot 39} = {} \\ &= 8\sqrt{39^2} = 8 \cdot 39 = 312. \end{aligned}\]
в) По формуле разности квадратов: \[(\sqrt{15} - \sqrt{14})(\sqrt{15} + \sqrt{14}) = (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{14})^2 = 15 - 14 = 1.\]
г) Разложим множители под знаком корня на простые множители: \[\begin{aligned} &\sqrt{55 \cdot 80 \cdot 11} = \sqrt{5 \cdot 11 \cdot 2^4 \cdot 5 \cdot 11} = {} \\ &= \sqrt{2^4 \cdot 5^2 \cdot 11^2} = 2^2 \cdot 5 \cdot 11 = 220. \end{aligned}\]
д) Приведём дроби к общему знаменателю \((4 + \sqrt{15})(4 - \sqrt{15})\) и найдём его по формуле разности квадратов: \[\begin{aligned} &\frac{1}{4 + \sqrt{15}} + \frac{1}{4 - \sqrt{15}} = \frac{4 - \sqrt{15} + 4 + \sqrt{15}}{(4 + \sqrt{15})(4 - \sqrt{15})} = {} \\ &= \frac{8}{4^2 - (\sqrt{15})^2} = \frac{8}{16 - 15} = \frac{8}{1} = 8. \end{aligned}\]
е) Для любого числа \(b\) верно \(\sqrt{b^2} = |b|\). Поскольку \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\), а \(\sqrt{50} < \sqrt{64} = 8\) (так как \(50 < 64\)), разность \(5\sqrt{2} - 8\) отрицательна, поэтому её модуль равен противоположному числу \(8 - 5\sqrt{2}\): \[\begin{aligned} &\sqrt{(5\sqrt{2} - 8)^2} + 5\sqrt{2} = |5\sqrt{2} - 8| + 5\sqrt{2} = {} \\ &= 8 - 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(6\); б) \(312\); в) \(1\); г) \(220\); д) \(8\); е) \(8\).
