Страница 164 номер 747, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\), \(a \neq b\): основания степеней с положительными дробными показателями неотрицательны, знаменатель \(a - b\) не равен нулю, а знаменатель первой дроби положителен, так как хотя бы одно из чисел \(a\) и \(b\) положительно.

Представим числа \(a\) и \(b\) в виде кубов: \(a = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3\), \(b = \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^3\). Тогда знаменатель второй дроби раскладывается на множители по формуле разности кубов: \[a - b = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3 - \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^3 = \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right).\] Значит, \(a - b\) — общий знаменатель дробей. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на \(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\); это выражение не равно нулю, так как при \(a^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{3}}\) после возведения в куб получилось бы \(a = b\). Учитывая, что \(a^{\frac{5}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}} = a^2\) и \(b^{\frac{5}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} = b^2\), раскроем скобки в новом числителе первой дроби: \[\left(a^{\frac{5}{3}} + b^{\frac{5}{3}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) = a^2 - a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{5}{3}} - b^2.\] Сложим дроби и сократим результат на \(a - b \neq 0\): \[\begin{aligned} &\frac{a^{\frac{5}{3}} + b^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} + \frac{a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{5}{3}}}{a - b} = {} \\ &= \frac{a^2 - a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{5}{3}} - b^2 + a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{5}{3}}}{a - b} = {} \\ &= \frac{a^2 - b^2}{a - b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a - b} = a + b. \end{aligned}\]

Ответ: \(a + b\).