Страница 164 номер 746, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Вычислите \(\left(\frac{\sqrt[4]{512}}{\sqrt[4]{125^3}}\right)^{\frac{4}{9}}\).
\(512 = 2^9\), поэтому \(\sqrt[4]{512} = \sqrt[4]{2^9} = 2^{\frac{9}{4}}\).
\(125^3 = (5^3)^3 = 5^9\), поэтому \(\sqrt[4]{125^3} = \sqrt[4]{5^9} = 5^{\frac{9}{4}}\).
\[\begin{aligned} &\left(\frac{\sqrt[4]{512}}{\sqrt[4]{125^3}}\right)^{\frac{4}{9}} = \left(\frac{2^{\frac{9}{4}}}{5^{\frac{9}{4}}}\right)^{\frac{4}{9}} = \frac{\left(2^{\frac{9}{4}}\right)^{\frac{4}{9}}}{\left(5^{\frac{9}{4}}\right)^{\frac{4}{9}}} = {} \\ &= \frac{2^{\frac{9}{4} \cdot \frac{4}{9}}}{5^{\frac{9}{4} \cdot \frac{4}{9}}} = \frac{2^1}{5^1} = \frac{2}{5} = 0{,}4. \end{aligned}\]
Ответ: \(0{,}4\).
Вычислите \(\left(\frac{\sqrt[4]{512}}{\sqrt[4]{125^3}}\right)^{\frac{4}{9}}\).
Поскольку \(512 = 2^9\) и \(125^3 = (5^3)^3 = 5^9\), представим корни в виде степеней с рациональными показателями: \(\sqrt[4]{512} = \sqrt[4]{2^9} = 2^{\frac{9}{4}}\), \(\sqrt[4]{125^3} = \sqrt[4]{5^9} = 5^{\frac{9}{4}}\). Получаем: \[\begin{aligned} &\left(\frac{\sqrt[4]{512}}{\sqrt[4]{125^3}}\right)^{\frac{4}{9}} = \left(\frac{2^{\frac{9}{4}}}{5^{\frac{9}{4}}}\right)^{\frac{4}{9}} = \frac{\left(2^{\frac{9}{4}}\right)^{\frac{4}{9}}}{\left(5^{\frac{9}{4}}\right)^{\frac{4}{9}}} = {} \\ &= \frac{2^{\frac{9}{4} \cdot \frac{4}{9}}}{5^{\frac{9}{4} \cdot \frac{4}{9}}} = \frac{2^1}{5^1} = \frac{2}{5} = 0{,}4. \end{aligned}\]
Ответ: \(0{,}4\).
