Страница 164 номер 748, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Выражение содержит степени \(a^{\frac{1}{3}}\), \(b^{\frac{1}{3}}\), \(a^{\frac{2}{3}}\), \(b^{\frac{2}{3}}\) с положительными дробными показателями, поэтому оно имеет смысл только при \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\). При таких значениях переменных представим корни в виде степеней: \(\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}\), \(\sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}\), а корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней: \[\begin{aligned} \sqrt[3]{a^2b} &= \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{b} = a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}; \\ \sqrt[3]{ab^2} &= \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b^2} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}. \end{aligned}\] Разложим знаменатели на множители способом группировки, учитывая, что \(a = a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}}\) и \(b = b^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}\). Для первого знаменателя получаем: \[\begin{aligned} &a + b + a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}} = \left(a + a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}\right) + \left(b + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}\right) = {} \\ &= a^{\frac{2}{3}}\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) + b^{\frac{2}{3}}\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) = \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right). \end{aligned}\] Для второго знаменателя: \[\begin{aligned} &a - b - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}} = \left(a - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}\right) + \left(a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}} - b\right) = {} \\ &= a^{\frac{2}{3}}\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) + b^{\frac{2}{3}}\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) = \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right). \end{aligned}\] При \(a = b\) второй знаменатель равен нулю, а при \(a \neq b\) оба знаменателя отличны от нуля: одно из неотрицательных чисел \(a\), \(b\) положительно, поэтому \(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} > 0\) и \(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} > 0\); кроме того, \(a^{\frac{1}{3}} \neq b^{\frac{1}{3}}\), так как иначе после возведения в куб получилось бы \(a = b\). Значит, выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\), \(a \neq b\).

При этих условиях сократим первую дробь на \(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\), а вторую — на \(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\): \[\begin{aligned} \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)^3}{\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)} &= \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)^2}{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}; \\ \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)^3}{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)} &= \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)^2}{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}. \end{aligned}\] Сложим полученные дроби с одинаковыми знаменателями, возведя в квадрат сумму и разность: \[\begin{aligned} &\frac{\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)^2 + \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)^2}{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = {} \\ &= \frac{a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = {} \\ &= \frac{2\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = 2. \end{aligned}\] Значит, при всех значениях \(a\) и \(b\), при которых выражение имеет смысл, его значение равно 2, то есть не зависит от значений переменных, что и требовалось доказать.

Ответ: при всех \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\), \(a \neq b\) значение выражения равно \(2\), то есть не зависит от \(a\) и \(b\).