Страница 164 номер 745, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях переменной \(x\) выражение \((x^2+4x+3)^{\frac{1}{3}}\) имеет смысл?
Показатель \(\frac{1}{3}\) — положительное рациональное число, поэтому выражение \((x^2 + 4x + 3)^{\frac{1}{3}}\) имеет смысл только тогда, когда его основание неотрицательно: \[x^2 + 4x + 3 \geqslant 0.\] Корни квадратного трёхчлена \(x^2 + 4x + 3\): \[\begin{aligned} x^2 + 4x + 3 &= 0; \\ D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4; \\ x_1 &= \frac{-4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 - 2}{2} = -3; \\ x_2 &= \frac{-4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = -1. \end{aligned}\] \(x^2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1)\), и неравенство принимает вид \((x + 3)(x + 1) \geqslant 0\).
При \(x > -1\) оба множителя \(x + 3\) и \(x + 1\) положительны — произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому на промежутке \((-3; -1)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; -3)\) — положительно.
Неравенство нестрогое, поэтому нули \(-3\) и \(-1\) входят в решение: при \(x = -3\) и \(x = -1\) основание степени равно нулю, а \(0^{\frac{1}{3}} = 0\).
Ответ: \((-\infty; -3] \cup [-1; +\infty)\).
При каких значениях переменной \(x\) выражение \((x^2+4x+3)^{\frac{1}{3}}\) имеет смысл?
Выражение \(x^2 + 4x + 3\) возводится в степень с положительным рациональным показателем \(\frac{1}{3}\). Поэтому выражение \((x^2 + 4x + 3)^{\frac{1}{3}}\) имеет смысл только тогда, когда его основание неотрицательно: \[x^2 + 4x + 3 \geqslant 0.\] Найдём корни квадратного трёхчлена \(x^2 + 4x + 3\): \[\begin{aligned} x^2 + 4x + 3 &= 0; \\ D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4; \\ x_1 &= \frac{-4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 - 2}{2} = -3; \\ x_2 &= \frac{-4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = -1. \end{aligned}\] Значит, \(x^2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1)\), и неравенство принимает вид \((x + 3)(x + 1) \geqslant 0\). Решим его методом интервалов. При \(x > -1\) оба множителя \(x + 3\) и \(x + 1\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-3; -1)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; -3)\) — положительно. Неравенство нестрогое, поэтому нули \(-3\) и \(-1\) входят в решение: при \(x = -3\) и \(x = -1\) основание степени равно нулю, а \(0^{\frac{1}{3}} = 0\).
Отметим нули на числовой прямой закрашенными точками, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Ответ: \((-\infty; -3] \cup [-1; +\infty)\).
