Страница 164 номер 744, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Возведём в куб числа \(1 + \sqrt{3}\) и \(1 - \sqrt{3}\) по формулам куба суммы и куба разности, учитывая, что \((\sqrt{3})^2 = 3\) и \((\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3}\): \[\begin{aligned} (1 + \sqrt{3})^3 &= 1 + 3\sqrt{3} + 3 \cdot 3 + 3\sqrt{3} = 10 + 6\sqrt{3}; \\ (1 - \sqrt{3})^3 &= 1 - 3\sqrt{3} + 3 \cdot 3 - 3\sqrt{3} = 10 - 6\sqrt{3}. \end{aligned}\] Число \(10 - 6\sqrt{3}\) отрицательно, так как \(6\sqrt{3} = \sqrt{108} > \sqrt{100} = 10\). Но показатель корня нечётный, а при нечётном \(n\) для любого числа \(a\) верно равенство \(\sqrt[n]{a^n} = a\). Следовательно, \[\begin{aligned} &\sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}} + \sqrt[3]{10 - 6\sqrt{3}} = {} \\ &= \sqrt[3]{(1 + \sqrt{3})^3} + \sqrt[3]{(1 - \sqrt{3})^3} = {} \\ &= (1 + \sqrt{3}) + (1 - \sqrt{3}) = 2. \end{aligned}\]

Ответ: 2.