Страница 164 номер 743, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения \(\sqrt{3-2\sqrt{2}} + \sqrt{3+2\sqrt{2}}\).
\[\begin{aligned} 3 - 2\sqrt{2} &= (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} - 1)^2; \\ 3 + 2\sqrt{2} &= (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} + 1)^2. \end{aligned}\] Для любого числа \(a\) верно равенство \(\sqrt{a^2} = |a|\). Поскольку \(\sqrt{2} > 1\), число \(\sqrt{2} - 1\) положительно и \(|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1\); число \(\sqrt{2} + 1\) тоже положительно: \[\begin{aligned} &\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} + \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = {} \\ &= |\sqrt{2} - 1| + |\sqrt{2} + 1| = \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} + 1 = 2\sqrt{2}. \end{aligned}\]
Ответ: \(2\sqrt{2}\).
Найдите значение выражения \(\sqrt{3-2\sqrt{2}} + \sqrt{3+2\sqrt{2}}\).
Подкоренные выражения — квадраты двучленов: \[\begin{aligned} 3 - 2\sqrt{2} &= (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} - 1)^2; \\ 3 + 2\sqrt{2} &= (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} + 1)^2. \end{aligned}\] Для любого числа \(a\) верно равенство \(\sqrt{a^2} = |a|\). Поскольку \(\sqrt{2} > 1\), число \(\sqrt{2} - 1\) положительно, поэтому \(|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1\); число \(\sqrt{2} + 1\) тоже положительно. Получаем: \[\begin{aligned} &\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} + \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = {} \\ &= |\sqrt{2} - 1| + |\sqrt{2} + 1| = \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} + 1 = 2\sqrt{2}. \end{aligned}\]
Ответ: \(2\sqrt{2}\).
