Страница 164 номер 742, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сравните \(\sqrt[3]{5}\) и \(\sqrt{3}\).
Оба выражения положительны. \(5 = \sqrt{25}\), \(3 = \sqrt[3]{27}\), поэтому \[\begin{aligned} \sqrt[3]{5} &= \sqrt[3]{\sqrt{25}} = \sqrt[3 \cdot 2]{25} = \sqrt[6]{25}; \\ \sqrt{3} &= \sqrt{\sqrt[3]{27}} = \sqrt[2 \cdot 3]{27} = \sqrt[6]{27}. \end{aligned}\] Функция \(y = x^6\) возрастает на промежутке \([0; +\infty)\), поэтому из двух неотрицательных чисел больше то, шестая степень которого больше. Шестые степени положительных чисел \(\sqrt[6]{25}\) и \(\sqrt[6]{27}\) равны 25 и 27, а \(25 < 27\), значит, \(\sqrt[6]{25} < \sqrt[6]{27}\), то есть \(\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}\).
Ответ: \(\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}\).
Сравните \(\sqrt[3]{5}\) и \(\sqrt{3}\).
Оба выражения положительны, но имеют разные показатели корней. Приведём их к общему показателю \(6 = 3 \cdot 2\). Поскольку \(5 = \sqrt{25}\) и \(3 = \sqrt[3]{27}\), по свойству извлечения корня из корня получаем: \[\begin{aligned} \sqrt[3]{5} &= \sqrt[3]{\sqrt{25}} = \sqrt[3 \cdot 2]{25} = \sqrt[6]{25}; \\ \sqrt{3} &= \sqrt{\sqrt[3]{27}} = \sqrt[2 \cdot 3]{27} = \sqrt[6]{27}. \end{aligned}\] Функция \(y = x^6\) возрастает на промежутке \([0; +\infty)\), поэтому из двух неотрицательных чисел больше то, шестая степень которого больше. Шестые степени положительных чисел \(\sqrt[6]{25}\) и \(\sqrt[6]{27}\) равны 25 и 27, а \(25 < 27\), следовательно, \(\sqrt[6]{25} < \sqrt[6]{27}\), то есть \(\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}\).
Ответ: \(\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}\).
