Страница 163 номер 738, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения: а) \(\sqrt[3]{9-3\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{9+3\sqrt{3}}\); б) \(0{,}0016^{\frac{1}{4}}\); в) \(0{,}000064^{\frac{1}{3}}\).
а) \(9 + 3\sqrt{3} > 0\) — сумма положительных чисел.
\(9 = \sqrt{81} > \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\), поэтому \(9 - 3\sqrt{3} > 0\).
Подкоренные выражения положительны, \(54 = 3^3 \cdot 2\), поэтому
\[\begin{aligned} &\sqrt[3]{9 - 3\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{9 + 3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{(9 - 3\sqrt{3})(9 + 3\sqrt{3})} = {} \\ &= \sqrt[3]{9^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt[3]{81 - 27} = \sqrt[3]{54} = {} \\ &= \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}. \end{aligned}\]
б) \(0{,}0016 = 0{,}2^4\), поэтому \[0{,}0016^{\frac{1}{4}} = \left(0{,}2^4\right)^{\frac{1}{4}} = 0{,}2^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 0{,}2^1 = 0{,}2.\]
в) \(0{,}000064 = 0{,}04^3\), поэтому \[0{,}000064^{\frac{1}{3}} = \left(0{,}04^3\right)^{\frac{1}{3}} = 0{,}04^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 0{,}04^1 = 0{,}04.\]
Ответ: а) \(3\sqrt[3]{2}\); б) \(0{,}2\); в) \(0{,}04\).
Найдите значение выражения: а) \(\sqrt[3]{9-3\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{9+3\sqrt{3}}\); б) \(0{,}0016^{\frac{1}{4}}\); в) \(0{,}000064^{\frac{1}{3}}\).
а) Проверим, что подкоренные выражения неотрицательны: \(9 + 3\sqrt{3} > 0\), так как это сумма положительных чисел; \(9 - 3\sqrt{3} > 0\), поскольку \(9 = \sqrt{81} > \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\). Произведение корней равно корню из произведения подкоренных выражений; кроме того, \(54 = 3^3 \cdot 2\), а корень из произведения положительных чисел равен произведению корней: \[\begin{aligned} &\sqrt[3]{9 - 3\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{9 + 3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{(9 - 3\sqrt{3})(9 + 3\sqrt{3})} = {} \\ &= \sqrt[3]{9^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt[3]{81 - 27} = \sqrt[3]{54} = {} \\ &= \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}. \end{aligned}\]
б) Поскольку \(0{,}0016 = 0{,}2^4\), получаем: \[0{,}0016^{\frac{1}{4}} = \left(0{,}2^4\right)^{\frac{1}{4}} = 0{,}2^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 0{,}2^1 = 0{,}2.\]
в) Поскольку \(0{,}000064 = 0{,}04^3\), получаем: \[0{,}000064^{\frac{1}{3}} = \left(0{,}04^3\right)^{\frac{1}{3}} = 0{,}04^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 0{,}04^1 = 0{,}04.\]
Ответ: а) \(3\sqrt[3]{2}\); б) \(0{,}2\); в) \(0{,}04\).
