Страница 163 номер 737, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях переменной \(x\) определено выражение \(\sqrt[4]{\frac{1}{(x+7)(x-3)}}\)?
Показатель корня чётный, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[\frac{1}{(x + 7)(x - 3)} \geqslant 0.\] Числитель дроби равен 1, поэтому дробь не обращается в нуль и неотрицательна тогда и только тогда, когда её знаменатель положителен; при \(x = -7\) и \(x = 3\) знаменатель равен нулю, и дробь не определена. Значит, \[(x + 7)(x - 3) > 0.\] Нули множителей — числа \(-7\) и \(3\). При \(x > 3\) оба множителя \(x + 7\) и \(x - 3\) положительны — произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому на промежутке \((-7; 3)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; -7)\) — положительно.
Неравенство строгое, поэтому числа \(-7\) и \(3\) в решение не входят.
Ответ: \((-\infty; -7) \cup (3; +\infty)\).
При каких значениях переменной \(x\) определено выражение \(\sqrt[4]{\frac{1}{(x+7)(x-3)}}\)?
По определению арифметического корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[\frac{1}{(x + 7)(x - 3)} \geqslant 0.\] Числитель дроби равен 1, поэтому дробь не обращается в нуль и неотрицательна тогда и только тогда, когда её знаменатель положителен; при \(x = -7\) и \(x = 3\) знаменатель равен нулю, и дробь не определена. Значит, неравенство равносильно неравенству \[(x + 7)(x - 3) > 0.\] Решим его методом интервалов. Нули множителей — числа \(-7\) и \(3\). При \(x > 3\) оба множителя \(x + 7\) и \(x - 3\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-7; 3)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; -7)\) — положительно.
Отметим нули на числовой прямой выколотыми точками (неравенство строгое), расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Ответ: \((-\infty; -7) \cup (3; +\infty)\).
