Темы исследовательских работ на странице 164, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Несоизмеримые отрезки.
2. Иррациональность числа \(\sqrt{2}\).
3. Удвоение куба и число \(\sqrt[3]{2}\).
4. Евдокс, Евклид и знак корня.
5. Число \(\pi\): от Архимеда до Ламберта.

Презентация к докладу: «История появления иррациональных чисел», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Несоизмеримые отрезки. Математики Древней Греции из школы Пифагора считали, что любые две величины можно сравнить с помощью натуральных чисел. Два отрезка называют соизмеримыми, если у них есть общая мера — отрезок, который укладывается в каждом из них целое число раз. Например, отрезки 6 см и 14 см соизмеримы: отрезок 2 см укладывается в них 3 и 7 раз, поэтому их длины относятся как \(3 : 7\). Пифагорейцы были уверены, что общая мера, пусть очень маленькая, найдётся у любых двух отрезков. Оказалось, что это не так: сторона квадрата и его диагональ несоизмеримы. Если сторона квадрата равна 1, то по теореме Пифагора квадрат диагонали \(d\) равен \(1^2 + 1^2 = 2\), то есть \(d = \sqrt{2}\), и несоизмеримость означает, что число \(\sqrt{2}\) нельзя записать в виде отношения двух натуральных чисел. По преданию, это открыл пифагореец Гиппас из Метапонта и за разглашение тайны погиб в море. Слово «иррациональный» происходит от латинского ratio — «отношение»: иррациональное число нельзя выразить отношением целых чисел.

2. Иррациональность числа \(\sqrt{2}\). Число, которое можно записать в виде дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m\) — целое, а \(n\) — натуральное число, называют рациональным, а число, которое так записать нельзя, — иррациональным. Докажем, что \(\sqrt{2}\) — иррациональное число. Предположим противное: \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\), где \(\frac{p}{q}\) — несократимая дробь с натуральными \(p\) и \(q\). Возведя обе части равенства в квадрат, получим \(p^2 = 2q^2\). Значит, \(p^2\) — чётное число, а тогда и \(p\) чётно, ведь квадрат нечётного числа нечётен. Пусть \(p = 2k\); тогда \(4k^2 = 2q^2\), то есть \(q^2 = 2k^2\), и так же получаем, что \(q\) чётно. Но тогда дробь \(\frac{p}{q}\) можно сократить на 2, а это противоречит её несократимости. Следовательно, \(\sqrt{2}\) нельзя записать в виде дроби. Похожими рассуждениями доказывают иррациональность чисел \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{6}\).

3. Удвоение куба и число \(\sqrt[3]{2}\). Одна из знаменитых задач древности — задача об удвоении куба: по ребру данного куба построить циркулем и линейкой ребро куба вдвое большего объёма. По преданию, жителям острова Делос оракул велел вдвое увеличить кубический жертвенник, поэтому задачу называют также делосской. Если ребро данного куба равно \(a\), а искомого — \(x\), то \(x^3 = 2a^3\), то есть \(x = a\sqrt[3]{2}\). Гиппократ Хиосский свёл задачу к отысканию двух средних пропорциональных между отрезками \(a\) и \(2a\): если \(\frac{a}{x} = \frac{x}{y} = \frac{y}{2a}\), то \(y = \frac{x^2}{a}\) и \(y^2 = 2ax\), откуда \(x^4 = 2a^3x\) и \(x^3 = 2a^3\). Менехм нашёл такой отрезок с помощью двух парабол: при \(a = 1\) это параболы \(y = x^2\) и \(y^2 = 2x\), и в их общей точке, отличной от начала координат, \(x^4 = 2x\), то есть \(x^3 = 2\). А циркулем и линейкой задачу решить нельзя — это доказал в 1837 году французский математик П. Ванцель. Число \(\sqrt[3]{2}\), как и \(\sqrt{2}\), иррационально: из равенства \(p^3 = 2q^3\) для несократимой дроби \(\frac{p}{q}\) следует, что \(p\) чётно, \(p = 2k\), тогда \(q^3 = 4k^3\), и \(q\) тоже чётно. Вообще, корень \(n\)-й степени из натурального числа, которое не является \(n\)-й степенью натурального числа, иррационален. Приближённое значение \(\sqrt[3]{2}\) находят, пользуясь возрастанием функции \(y = x^3\): \(1{,}25^3 = 1{,}953125 < 2\) и \(1{,}26^3 = 2{,}000376 > 2\), поэтому \(1{,}25 < \sqrt[3]{2} < 1{,}26\).

4. Евдокс, Евклид и знак корня. Открытие несоизмеримости показало, что одних отношений натуральных чисел для измерения величин недостаточно. Евдокс Книдский создал теорию отношений, пригодную и для несоизмеримых отрезков: два отношения равны, если всякая дробь \(\frac{m}{n}\), меньшая одного из них, меньше и другого, а большая одного — больше и другого. Евклид изложил эту теорию в «Началах», а десятую книгу «Начал» — самую большую из тринадцати — посвятил несоизмеримым величинам. Долгое время корни записывали словами: латинское radix означает «корень», и средневековые математики обозначали корень буквой R. Знак \(\sqrt{\ }\) появился в 1525 году в книге немецкого математика К. Рудольфа; считается, что он произошёл от буквы r. Черту над подкоренным выражением добавил Р. Декарт в «Геометрии» (1637), и знак приобрёл современный вид. Показатель корня \(n\)-й степени пишут над знаком: \(\sqrt[3]{2}\), \(\sqrt[5]{7}\).

5. Число \(\pi\): от Архимеда до Ламберта. Иррациональные числа появляются не только при извлечении корней. Отношение длины окружности к её диаметру одно и то же для всех окружностей, его обозначают буквой \(\pi\). Архимед вписал в окружность и описал около неё правильные 96-угольники и, оценив их периметры, доказал, что \(3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}\); отсюда известное приближение \(\pi \approx \frac{22}{7}\). Долгое время оставалось неизвестным, нельзя ли записать \(\pi\) в виде дроби, и лишь в 1761 году И. Г. Ламберт доказал, что \(\pi\) — иррациональное число. Поэтому \(3{,}14\) и \(\frac{22}{7}\) — только приближённые значения числа \(\pi\).

Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что иррациональные числа пришли из геометрии: пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть число \(\sqrt{2}\) нельзя записать в виде дроби. Задача об удвоении куба привела к корню третьей степени \(\sqrt[3]{2}\) — тоже иррациональному числу, которое нельзя построить циркулем и линейкой, но можно найти с помощью двух парабол или вычислить приближённо с любой точностью. Евдокс и Евклид создали теорию, позволившую работать с несоизмеримыми величинами, знак корня приобрёл современный вид в трудах К. Рудольфа и Р. Декарта, а в 1761 году И. Г. Ламберт доказал иррациональность числа \(\pi\).