Страница 163 номер 730, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано:
\(b_1 = 680\) см
\(q = \frac{1}{2}\)
Найти: наименьшее натуральное \(n\), при котором \(b_n < 25\) см.
Решение:
\(b_n\) — высота (в сантиметрах) после \(n\)-го отскока; каждый следующий член в 2 раза меньше предыдущего, поэтому \((b_n)\) — геометрическая прогрессия и \[b_n = 680 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{680}{2^{n-1}}.\]
Решим неравенство \(b_n < 25\), умножив обе части на положительное число \(2^{n-1}\): \[\begin{aligned} \frac{680}{2^{n-1}} &< 25; \qquad | \cdot 2^{n-1} \\ 680 &< 25 \cdot 2^{n-1}; \qquad | : 25 \\ 27{,}2 &< 2^{n-1}. \end{aligned}\]
С ростом показателя степень двойки увеличивается, причём \(2^4 = 16 < 27{,}2\), а \(2^5 = 32 > 27{,}2\). Поэтому неравенство неверно при \(n - 1 \leqslant 4\) и верно при \(n - 1 \geqslant 5\), то есть при натуральных \(n \geqslant 6\).
\(b_5 = \frac{680}{2^4} = 42{,}5\) (см) — высота после пятого отскока.
\(b_6 = \frac{680}{2^5} = 21{,}25\) (см) — после шестого отскока, впервые меньше 25 см.
Ответ: после шестого отскока.
Дано:
\(b_1 = 680\) см
\(q = \frac{1}{2}\)
Найти: наименьшее натуральное \(n\), при котором \(b_n < 25\) см.
Решение:
Обозначим через \(b_n\) высоту (в сантиметрах), на которую подлетает попрыгунчик после \(n\)-го отскока. Каждый член последовательности \((b_n)\), начиная со второго, в 2 раза меньше предыдущего, то есть равен произведению предыдущего члена и числа \(\frac{1}{2}\). Следовательно, \((b_n)\) — геометрическая прогрессия с первым членом \(b_1 = 680\) и знаменателем \(q = \frac{1}{2}\), и по формуле \(n\)-го члена \[b_n = 680 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{680}{2^{n-1}}.\] Найдём натуральные \(n\), при которых \(b_n < 25\). Умножим обе части неравенства на положительное число \(2^{n-1}\) и разделим на 25: \[\begin{aligned} \frac{680}{2^{n-1}} &< 25; \qquad | \cdot 2^{n-1} \\ 680 &< 25 \cdot 2^{n-1}; \qquad | : 25 \\ 27{,}2 &< 2^{n-1}. \end{aligned}\] С ростом показателя степень двойки увеличивается, причём \(2^4 = 16 < 27{,}2\), а \(2^5 = 32 > 27{,}2\). Поэтому неравенство \(27{,}2 < 2^{n-1}\) неверно при \(n - 1 \leqslant 4\) и верно при \(n - 1 \geqslant 5\), то есть его решения — все натуральные \(n \geqslant 6\). Значит, высота впервые станет меньше 25 см после шестого отскока: после пятого отскока попрыгунчик подлетит на \(b_5 = \frac{680}{2^4} = 42{,}5\) (см), а после шестого — на \(b_6 = \frac{680}{2^5} = 21{,}25\) (см).
Ответ: после шестого отскока.
