Контрольные вопросы и задания на странице 163, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Степенной функцией с натуральным показателем называют функцию вида \(f(x) = x^n\), где \(n\) — натуральное число; число \(n\) называют показателем степенной функции. При \(n = 1\) получается линейная функция \(f(x) = x\), при \(n = 2\) — квадратичная функция \(f(x) = x^2\).
\(D(f) = (-\infty; +\infty)\); график проходит через точки \((0; 0)\) и \((1; 1)\). При чётном \(n\) функция чётная, убывает на промежутке \((-\infty; 0]\), возрастает на промежутке \([0; +\infty)\), и \(E(f) = [0; +\infty)\); при нечётном \(n\) функция нечётная, возрастает на всей числовой прямой, и \(E(f) = (-\infty; +\infty)\).
Пример 1. \(f(x) = x^3\) — степенная функция с нечётным показателем 3: \(f(-2) = (-2)^3 = -8\) и \(f(2) = 2^3 = 8\), то есть \(f(-2) = -f(2)\), как у нечётной функции.
Пример 2. \(g(x) = x^4\) — степенная функция с чётным показателем 4: \(g(-2) = (-2)^4 = 16\) и \(g(2) = 2^4 = 16\), то есть \(g(-2) = g(2)\), как у чётной функции.
Функция \(y = x^{-2}\) степенной функцией с натуральным показателем не является: её показатель \(-2\) — не натуральное число.
Ответ: степенной функцией с натуральным показателем называют функцию вида \(f(x) = x^n\), где \(n\) — натуральное число (показатель степенной функции); например, \(f(x) = x^3\), для которой \(f(-2) = -8\), и \(g(x) = x^4\), для которой \(g(-2) = 16\).
Для натурального \(n \geqslant 2\) корнем \(n\)-й степени из числа \(a\) называют такое число, \(n\)-я степень которого равна \(a\).
При нечётном \(n\) корень \(n\)-й степени из любого числа \(a\) существует и он единственный; его обозначают \(\sqrt[n]{a}\).
При чётном \(n\) из отрицательного числа корня \(n\)-й степени нет. Из положительного числа \(a\) корней \(n\)-й степени два — противоположные числа \(-\sqrt[n]{a}\) и \(\sqrt[n]{a}\); положительный из них, \(\sqrt[n]{a}\), называют арифметическим корнем \(n\)-й степени из числа \(a\). Из нуля корень любой степени один — нуль: \(\sqrt[n]{0} = 0\). Значит, при чётном \(n\) запись \(\sqrt[n]{a}\) имеет смысл только при \(a \geqslant 0\) и обозначает неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\).
Пример 1. \((-4)^3 = -64\), и других чисел, куб которых равен \(-64\), нет, поэтому \(\sqrt[3]{-64} = -4\).
Пример 2. \((-5)^4 = 5^4 = 625\), поэтому корни четвёртой степени из числа 625 — числа \(-5\) и \(5\); арифметический корень — положительный из них: \(\sqrt[4]{625} = 5\).
Пример 3. Выражение \(\sqrt[6]{-64}\) не определено: показатель корня чётный, а шестая степень любого числа неотрицательна и не может равняться \(-64\).
Ответ: для натурального \(n \geqslant 2\) корнем \(n\)-й степени из числа \(a\) называют число, \(n\)-я степень которого равна \(a\); при чётном \(n\) из положительного числа \(a\) таких корней два, и положительный из них, \(\sqrt[n]{a}\), называют арифметическим корнем \(n\)-й степени из \(a\), а из отрицательного числа корня чётной степени нет; например, \(\sqrt[3]{-64} = -4\), \(\sqrt[4]{625} = 5\), а выражение \(\sqrt[6]{-64}\) не определено.
Корень \(n\)-й степени (\(n\) — натуральное число, \(n \geqslant 2\)) обладает следующими свойствами.
- Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней: \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\) при \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\); это верно и для любого числа неотрицательных множителей. Например, \(\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{4 \cdot 16} = \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4\).
- Чтобы возвести корень \(n\)-й степени из неотрицательного числа \(a\) в натуральную степень \(m\), достаточно возвести в эту степень число \(a\): \((\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\) при \(a \geqslant 0\). Например, \((\sqrt[4]{3})^8 = \sqrt[4]{3^8} = \sqrt[4]{(3^2)^4} = 3^2 = 9\).
- Корень из частного равен частному корней: \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) при \(a \geqslant 0\), \(b > 0\). Например, \(\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[5]{243}} = \frac{\sqrt[5]{2^5}}{\sqrt[5]{3^5}} = \frac{2}{3}\).
- Корень \(m\)-й степени (\(m\) — натуральное, \(m \geqslant 2\)) из корня \(n\)-й степени из неотрицательного числа \(a\) равен корню степени \(mn\) из \(a\): \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\) при \(a \geqslant 0\). Например, \(\sqrt{\sqrt[3]{729}} = \sqrt[2 \cdot 3]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3\).
- Для любого числа \(a\) при чётном \(n\) верно равенство \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\), а при нечётном \(n\) — равенство \(\sqrt[n]{a^n} = a\). Например, \(\sqrt[4]{(-7)^4} = |-7| = 7\), а \(\sqrt[5]{(-7)^5} = -7\).
- При нечётном \(n\) знак минус можно выносить из-под знака корня: \(\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}\) для любого числа \(a\). Например, \(\sqrt[3]{-216} = -\sqrt[3]{216} = -\sqrt[3]{6^3} = -6\).
Свойства произведения, степени, частного и корня из корня доказаны для неотрицательных подкоренных выражений, и применять их можно только при этом условии: \(\sqrt[4]{(-2) \cdot (-8)} = \sqrt[4]{16} = 2\), но записать этот корень в виде произведения корней \(\sqrt[4]{-2}\) и \(\sqrt[4]{-8}\) нельзя — такие выражения не определены.
Если под корнем нечётной степени стоит отрицательное число, сначала выносят знак минус из-под знака корня, а затем применяют свойства: \(\sqrt[3]{-2} \cdot \sqrt[3]{32} = -\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{32} = -\sqrt[3]{64} = -4\).
Ответ: \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\) при \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\); \((\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\) и \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\) при \(a \geqslant 0\); \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) при \(a \geqslant 0\), \(b > 0\); для любого числа \(a\) верно \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\) при чётном \(n\), а при нечётном \(n\) — \(\sqrt[n]{a^n} = a\) и \(\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}\); например, \(\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16} = 4\), \(\sqrt[4]{(-7)^4} = 7\), \(\sqrt[3]{-216} = -6\).
Степенью числа \(a\) с натуральным показателем \(n > 1\) называют произведение \(n\) множителей, каждый из которых равен \(a\): \(a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a\); степенью с показателем 1 считают само число: \(a^1 = a\). Для ненулевого числа \(a\) определены также нулевая и отрицательные степени: \(a^0 = 1\) и \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\), где \(n\) — натуральное число. Нулевая и отрицательные степени нуля не определены: выражения \(0^0\) и \(0^{-2}\) смысла не имеют.
Пример 1. \((-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81\), \((-3)^1 = -3\).
Пример 2. \(7^0 = 1\), \(\left(-\frac{2}{5}\right)^0 = 1\).
Пример 3. \(5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}\), \((-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}\), \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4}\).
Ответ: степенью числа \(a\) с натуральным показателем \(n > 1\) называют произведение \(n\) множителей, равных \(a\), степенью с показателем 1 — само число \(a\), а для ненулевого числа \(a\) полагают \(a^0 = 1\) и \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) (\(n\) — натуральное); например, \((-3)^4 = 81\), \(7^0 = 1\), \(5^{-2} = \frac{1}{25}\), \((-2)^{-3} = -\frac{1}{8}\).
Для ненулевых чисел \(a\) и \(b\) и любых целых чисел \(m\) и \(n\) верны следующие свойства.
- При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Например, \(2^{-3} \cdot 2^7 = 2^{-3+7} = 2^4 = 16\).
- При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). Например, \(\frac{3^{-2}}{3^{-5}} = 3^{-2-(-5)} = 3^3 = 27\).
- При возведении степени в степень показатели перемножаются: \((a^m)^n = a^{mn}\). Например, \((5^{-1})^{-2} = 5^{(-1) \cdot (-2)} = 5^2 = 25\).
- Степень произведения равна произведению степеней: \((ab)^n = a^n b^n\). Например, \(2^{-3} \cdot 5^{-3} = (2 \cdot 5)^{-3} = 10^{-3} = \frac{1}{1000}\).
- Степень частного равна частному степеней: \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\). Например, \(\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \frac{3^{-2}}{4^{-2}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{16}} = \frac{16}{9}\).
Условие \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) нужно потому, что нулевая и отрицательные степени нуля не определены.
Вычисление с приведением степеней к одному основанию: \[\begin{aligned} &\frac{4^{-2} \cdot 8^3}{2^3} = \frac{(2^2)^{-2} \cdot (2^3)^3}{2^3} = \frac{2^{-4} \cdot 2^9}{2^3} = {} \\ &= 2^{-4+9-3} = 2^2 = 4. \end{aligned}\]
Ответ: при \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) и целых \(m\), \(n\) верны равенства \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\), \((ab)^n = a^n b^n\), \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\); например, \(2^{-3} \cdot 2^7 = 2^4 = 16\), \((5^{-1})^{-2} = 5^2 = 25\).
Степенью положительного числа \(a\) с рациональным показателем \(\frac{m}{n}\), где \(m\) — целое число, а \(n\) — натуральное, называют число \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\) (при \(n = 1\) это степень с целым показателем \(a^m\)). Значение степени не зависит от записи показателя: если дроби \(\frac{m}{n}\) и \(\frac{p}{q}\) равны, то \(a^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{p}{q}}\). При положительном показателе основание может быть равно нулю: \(0^{\frac{m}{n}} = 0\) при \(\frac{m}{n} > 0\); при отрицательном показателе основание должно быть положительным.
Для отрицательного основания степень с дробным показателем не определена: иначе равным показателям \(\frac{1}{3}\) и \(\frac{2}{6}\) отвечали бы разные значения — \(\sqrt[3]{-8} = -2\), но \(\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2\). Поэтому выражение \(\sqrt[3]{-8}\) имеет смысл, а выражение \((-8)^{\frac{1}{3}}\) — нет.
Пример 1. \(8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4\).
Пример 2. \[\begin{aligned} &81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{81^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{81^3}} = {} \\ &= \frac{1}{\left(\sqrt[4]{81}\right)^3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}. \end{aligned}\]
Пример 3. \(0{,}25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), \(0^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{0^2} = 0\).
Ответ: степенью положительного числа \(a\) с рациональным показателем \(\frac{m}{n}\) (\(m\) — целое, \(n\) — натуральное) называют число \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\); при положительном показателе допускается и основание \(0\), а для отрицательного основания степень с дробным показателем не определена; например, \(8^{\frac{2}{3}} = 4\), \(81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{27}\).
Если \(a > 0\), \(b > 0\), а \(r\), \(r_1\) и \(r_2\) — рациональные числа, то верны следующие свойства.
- При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: \(a^{r_1} \cdot a^{r_2} = a^{r_1 + r_2}\). Например, \(2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = 2^1 = 2\).
- При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: \(\frac{a^{r_1}}{a^{r_2}} = a^{r_1 - r_2}\). Например, \(\frac{5^{\frac{7}{4}}}{5^{\frac{3}{4}}} = 5^{\frac{7}{4} - \frac{3}{4}} = 5^1 = 5\).
- При возведении степени в степень показатели перемножаются: \(\left(a^{r_1}\right)^{r_2} = a^{r_1 r_2}\). Например, \(\left(9^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{2}{3}} = 9^{\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3\).
- Степень произведения равна произведению степеней: \((ab)^r = a^r b^r\). Например, \((4 \cdot 25)^{\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} \cdot 25^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^3} \cdot \sqrt{25^3} = 8 \cdot 125 = 1000\).
- Степень частного равна частному степеней: \(\left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}\). Например, \(\left(\frac{8}{125}\right)^{\frac{2}{3}} = \frac{8^{\frac{2}{3}}}{125^{\frac{2}{3}}} = \frac{\left(2^3\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(5^3\right)^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}\).
Для основания \(-8\) свойство возведения степени в степень неверно: выражение \(\left((-8)^2\right)^{\frac{1}{6}} = 64^{\frac{1}{6}} = 2\) определено, а выражение \((-8)^{\frac{1}{3}}\), которое по свойству должно было бы ему равняться (так как \(2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}\)), не определено.
Ответ: при \(a > 0\), \(b > 0\) и рациональных \(r\), \(r_1\), \(r_2\) верны равенства \(a^{r_1} \cdot a^{r_2} = a^{r_1 + r_2}\), \(\frac{a^{r_1}}{a^{r_2}} = a^{r_1 - r_2}\), \(\left(a^{r_1}\right)^{r_2} = a^{r_1 r_2}\), \((ab)^r = a^r b^r\), \(\left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}\); например, \(2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2\), \(\left(9^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{2}{3}} = 3\).
Степенной функцией с натуральным показателем называют функцию вида \(f(x) = x^n\), где \(n\) — натуральное число; число \(n\) называют показателем степенной функции. При \(n = 1\) получается линейная функция \(f(x) = x\), при \(n = 2\) — квадратичная функция \(f(x) = x^2\). Возводить в степень с натуральным показателем можно любое число, поэтому область определения степенной функции — все действительные числа: \(D(f) = (-\infty; +\infty)\). График любой такой функции проходит через точки \((0; 0)\) и \((1; 1)\). При чётном \(n\) функция чётная, убывает на промежутке \((-\infty; 0]\), возрастает на промежутке \([0; +\infty)\), и \(E(f) = [0; +\infty)\); при нечётном \(n\) функция нечётная, возрастает на всей числовой прямой, и \(E(f) = (-\infty; +\infty)\).
Пример 1. \(f(x) = x^3\) — степенная функция с нечётным показателем 3. Получаем \(f(-2) = (-2)^3 = -8\) и \(f(2) = 2^3 = 8\), то есть \(f(-2) = -f(2)\), как и должно быть у нечётной функции.
Пример 2. \(g(x) = x^4\) — степенная функция с чётным показателем 4. Получаем \(g(-2) = (-2)^4 = 16\) и \(g(2) = 2^4 = 16\), то есть \(g(-2) = g(2)\), как и должно быть у чётной функции.
Функция \(y = x^{-2}\) степенной функцией с натуральным показателем не является: её показатель \(-2\) — не натуральное число.
Ответ: степенной функцией с натуральным показателем называют функцию вида \(f(x) = x^n\), где \(n\) — натуральное число (показатель степенной функции); например, \(f(x) = x^3\), для которой \(f(-2) = -8\), и \(g(x) = x^4\), для которой \(g(-2) = 16\).
Для натурального \(n \geqslant 2\) корнем \(n\)-й степени из числа \(a\) называют такое число, \(n\)-я степень которого равна \(a\).
При нечётном \(n\) степенная функция \(y = x^n\) возрастает на всей числовой прямой и принимает все действительные значения, поэтому корень \(n\)-й степени из любого числа \(a\) существует и он единственный; его обозначают \(\sqrt[n]{a}\).
При чётном \(n\) множество значений функции \(y = x^n\) — промежуток \([0; +\infty)\), поэтому из отрицательного числа корня \(n\)-й степени нет. Из положительного числа \(a\) корней \(n\)-й степени два — противоположные числа \(-\sqrt[n]{a}\) и \(\sqrt[n]{a}\); положительный из них, \(\sqrt[n]{a}\), называют арифметическим корнем \(n\)-й степени из числа \(a\). Из нуля корень любой степени один — нуль: \(\sqrt[n]{0} = 0\). Значит, при чётном \(n\) запись \(\sqrt[n]{a}\) имеет смысл только при \(a \geqslant 0\) и обозначает неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\).
Пример 1. Корень третьей степени из числа \(-64\) равен \(-4\), так как \((-4)^3 = -64\); других чисел, куб которых равен \(-64\), нет. Значит, \(\sqrt[3]{-64} = -4\).
Пример 2. Корнями четвёртой степени из числа 625 являются числа \(-5\) и \(5\), так как \((-5)^4 = 5^4 = 625\). Арифметический корень — положительное из них: \(\sqrt[4]{625} = 5\).
Пример 3. Выражение \(\sqrt[6]{-64}\) не определено: показатель корня чётный, а шестая степень любого числа неотрицательна и не может равняться \(-64\).
Ответ: для натурального \(n \geqslant 2\) корнем \(n\)-й степени из числа \(a\) называют число, \(n\)-я степень которого равна \(a\); при чётном \(n\) из положительного числа \(a\) таких корней два, и положительный из них, \(\sqrt[n]{a}\), называют арифметическим корнем \(n\)-й степени из \(a\), а из отрицательного числа корня чётной степени нет; например, \(\sqrt[3]{-64} = -4\), \(\sqrt[4]{625} = 5\), а выражение \(\sqrt[6]{-64}\) не определено.
Корень \(n\)-й степени (\(n\) — натуральное число, \(n \geqslant 2\)) обладает следующими свойствами.
- Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней: \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\) при \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\); это верно и для любого числа неотрицательных множителей. Например, \(\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{4 \cdot 16} = \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4\).
- Чтобы возвести корень \(n\)-й степени из неотрицательного числа \(a\) в натуральную степень \(m\), достаточно возвести в эту степень число \(a\): \((\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\) при \(a \geqslant 0\). Например, \((\sqrt[4]{3})^8 = \sqrt[4]{3^8} = \sqrt[4]{(3^2)^4} = 3^2 = 9\).
- Корень из частного равен частному корней: \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) при \(a \geqslant 0\), \(b > 0\). Например, \(\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[5]{243}} = \frac{\sqrt[5]{2^5}}{\sqrt[5]{3^5}} = \frac{2}{3}\).
- Корень \(m\)-й степени (\(m\) — натуральное, \(m \geqslant 2\)) из корня \(n\)-й степени из неотрицательного числа \(a\) равен корню степени \(mn\) из \(a\): \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\) при \(a \geqslant 0\). Например, \(\sqrt{\sqrt[3]{729}} = \sqrt[2 \cdot 3]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3\).
- Для любого числа \(a\) при чётном \(n\) верно равенство \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\), а при нечётном \(n\) — равенство \(\sqrt[n]{a^n} = a\). Например, \(\sqrt[4]{(-7)^4} = |-7| = 7\), а \(\sqrt[5]{(-7)^5} = -7\).
- При нечётном \(n\) знак минус можно выносить из-под знака корня: \(\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}\) для любого числа \(a\). Например, \(\sqrt[3]{-216} = -\sqrt[3]{216} = -\sqrt[3]{6^3} = -6\).
Свойства произведения, степени, частного и корня из корня доказаны для неотрицательных подкоренных выражений, и применять их можно только при этом условии. Например, \(\sqrt[4]{(-2) \cdot (-8)} = \sqrt[4]{16} = 2\), но записать этот корень в виде произведения корней \(\sqrt[4]{-2}\) и \(\sqrt[4]{-8}\) нельзя: такие выражения не определены. Если под корнем нечётной степени стоит отрицательное число, сначала выносят знак минус из-под знака корня, а затем применяют свойства: \(\sqrt[3]{-2} \cdot \sqrt[3]{32} = -\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{32} = -\sqrt[3]{64} = -4\).
Ответ: \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\) при \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\); \((\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\) и \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\) при \(a \geqslant 0\); \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) при \(a \geqslant 0\), \(b > 0\); для любого числа \(a\) верно \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\) при чётном \(n\), а при нечётном \(n\) — \(\sqrt[n]{a^n} = a\) и \(\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}\); например, \(\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16} = 4\), \(\sqrt[4]{(-7)^4} = 7\), \(\sqrt[3]{-216} = -6\).
Степенью числа \(a\) с натуральным показателем \(n > 1\) называют произведение \(n\) множителей, каждый из которых равен \(a\): \(a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a\); степенью с показателем 1 считают само число: \(a^1 = a\). Для ненулевого числа \(a\) определены также нулевая и отрицательные степени: \(a^0 = 1\) и \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\), где \(n\) — натуральное число. Нулевая и отрицательные степени нуля не определены: выражения \(0^0\) и \(0^{-2}\) смысла не имеют.
Пример 1. \((-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81\), \((-3)^1 = -3\).
Пример 2. \(7^0 = 1\), \(\left(-\frac{2}{5}\right)^0 = 1\).
Пример 3. \(5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}\), \((-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}\), \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4}\).
Ответ: степенью числа \(a\) с натуральным показателем \(n > 1\) называют произведение \(n\) множителей, равных \(a\), степенью с показателем 1 — само число \(a\), а для ненулевого числа \(a\) полагают \(a^0 = 1\) и \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) (\(n\) — натуральное); например, \((-3)^4 = 81\), \(7^0 = 1\), \(5^{-2} = \frac{1}{25}\), \((-2)^{-3} = -\frac{1}{8}\).
Для ненулевых чисел \(a\) и \(b\) и любых целых чисел \(m\) и \(n\) верны следующие свойства.
- При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Например, \(2^{-3} \cdot 2^7 = 2^{-3+7} = 2^4 = 16\).
- При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). Например, \(\frac{3^{-2}}{3^{-5}} = 3^{-2-(-5)} = 3^3 = 27\).
- При возведении степени в степень показатели перемножаются: \((a^m)^n = a^{mn}\). Например, \((5^{-1})^{-2} = 5^{(-1) \cdot (-2)} = 5^2 = 25\).
- Степень произведения равна произведению степеней: \((ab)^n = a^n b^n\). Например, \(2^{-3} \cdot 5^{-3} = (2 \cdot 5)^{-3} = 10^{-3} = \frac{1}{1000}\).
- Степень частного равна частному степеней: \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\). Например, \(\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \frac{3^{-2}}{4^{-2}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{16}} = \frac{16}{9}\).
Условие \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) нужно потому, что нулевая и отрицательные степени нуля не определены. Свойства позволяют вычислять значения выражений, приводя степени к одному основанию: \[\begin{aligned} &\frac{4^{-2} \cdot 8^3}{2^3} = \frac{(2^2)^{-2} \cdot (2^3)^3}{2^3} = \frac{2^{-4} \cdot 2^9}{2^3} = {} \\ &= 2^{-4+9-3} = 2^2 = 4. \end{aligned}\]
Ответ: при \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) и целых \(m\), \(n\) верны равенства \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\), \((ab)^n = a^n b^n\), \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\); например, \(2^{-3} \cdot 2^7 = 2^4 = 16\), \((5^{-1})^{-2} = 5^2 = 25\).
Степенью положительного числа \(a\) с рациональным показателем \(\frac{m}{n}\), где \(m\) — целое число, а \(n\) — натуральное, называют число \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\) (при \(n = 1\) это степень с целым показателем \(a^m\)). Значение степени не зависит от записи показателя: если дроби \(\frac{m}{n}\) и \(\frac{p}{q}\) равны, то \(a^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{p}{q}}\). При положительном показателе основание может быть равно нулю: \(0^{\frac{m}{n}} = 0\) при \(\frac{m}{n} > 0\); при отрицательном показателе основание должно быть положительным. Для отрицательного основания степень с дробным показателем не определена: иначе равным показателям \(\frac{1}{3}\) и \(\frac{2}{6}\) отвечали бы разные значения — \(\sqrt[3]{-8} = -2\), но \(\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2\). Поэтому выражение \(\sqrt[3]{-8}\) имеет смысл, а выражение \((-8)^{\frac{1}{3}}\) — нет.
Пример 1. \(8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4\).
Пример 2. \[\begin{aligned} &81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{81^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{81^3}} = {} \\ &= \frac{1}{\left(\sqrt[4]{81}\right)^3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}. \end{aligned}\]
Пример 3. \(0{,}25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), \(0^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{0^2} = 0\).
Ответ: степенью положительного числа \(a\) с рациональным показателем \(\frac{m}{n}\) (\(m\) — целое, \(n\) — натуральное) называют число \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\); при положительном показателе допускается и основание \(0\), а для отрицательного основания степень с дробным показателем не определена; например, \(8^{\frac{2}{3}} = 4\), \(81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{27}\).
Степень с рациональным показателем обладает теми же свойствами, что и степень с целым показателем, но верны они для положительных оснований. Если \(a > 0\), \(b > 0\), а \(r\), \(r_1\) и \(r_2\) — рациональные числа, то верны следующие свойства.
- При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: \(a^{r_1} \cdot a^{r_2} = a^{r_1 + r_2}\). Например, \(2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = 2^1 = 2\).
- При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: \(\frac{a^{r_1}}{a^{r_2}} = a^{r_1 - r_2}\). Например, \(\frac{5^{\frac{7}{4}}}{5^{\frac{3}{4}}} = 5^{\frac{7}{4} - \frac{3}{4}} = 5^1 = 5\).
- При возведении степени в степень показатели перемножаются: \(\left(a^{r_1}\right)^{r_2} = a^{r_1 r_2}\). Например, \(\left(9^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{2}{3}} = 9^{\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3\).
- Степень произведения равна произведению степеней: \((ab)^r = a^r b^r\). Например, \((4 \cdot 25)^{\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} \cdot 25^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^3} \cdot \sqrt{25^3} = 8 \cdot 125 = 1000\).
- Степень частного равна частному степеней: \(\left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}\). Например, \(\left(\frac{8}{125}\right)^{\frac{2}{3}} = \frac{8^{\frac{2}{3}}}{125^{\frac{2}{3}}} = \frac{\left(2^3\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(5^3\right)^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}\).
Условие положительности оснований существенно. Для основания \(-8\) свойство возведения степени в степень неверно: выражение \(\left((-8)^2\right)^{\frac{1}{6}} = 64^{\frac{1}{6}} = 2\) определено, а выражение \((-8)^{\frac{1}{3}}\), которое по свойству должно было бы ему равняться (так как \(2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}\)), не определено.
Ответ: при \(a > 0\), \(b > 0\) и рациональных \(r\), \(r_1\), \(r_2\) верны равенства \(a^{r_1} \cdot a^{r_2} = a^{r_1 + r_2}\), \(\frac{a^{r_1}}{a^{r_2}} = a^{r_1 - r_2}\), \(\left(a^{r_1}\right)^{r_2} = a^{r_1 r_2}\), \((ab)^r = a^r b^r\), \(\left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}\); например, \(2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2\), \(\left(9^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{2}{3}} = 3\).
