Страница 163 номер 728, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Упростите выражение: а) \(\frac{15}{6 + \frac{1}{5}x} \cdot \frac{x+30}{x}\); б) \(\frac{a^2-36}{a^2+3} \cdot \left(\frac{2a+1}{a-6} + \frac{2a-1}{a+6}\right)\); в) \(\left(\frac{4m+7}{4m-7} - \frac{4m-7}{4m+7}\right) : \frac{14m}{20m+35}\).
а) \(6 + \frac{1}{5}x = \frac{30 + x}{5} = \frac{x + 30}{5}\). Выражение имеет смысл при \(x \neq 0\) и \(x \neq -30\), поэтому дробь можно сократить на \(x + 30\): \[\begin{aligned} &\frac{15}{6 + \frac{1}{5}x} \cdot \frac{x + 30}{x} = \frac{15}{\frac{x + 30}{5}} \cdot \frac{x + 30}{x} = {} \\ &= \frac{15 \cdot 5}{x + 30} \cdot \frac{x + 30}{x} = \frac{75}{x}. \end{aligned}\]
б) \((a - 6)(a + 6) = a^2 - 36\) — общий знаменатель дробей в скобках. Числитель суммы: \[\begin{aligned} &(2a + 1)(a + 6) + (2a - 1)(a - 6) = 2a^2 + 12a + a + 6 + 2a^2 - 12a - a + 6 = {} \\ &= 4a^2 + 12 = 4(a^2 + 3). \end{aligned}\] Выражение имеет смысл при \(a \neq -6\) и \(a \neq 6\); кроме того, \(a^2 + 3 > 0\) при любом значении \(a\). Поэтому дробь можно сократить на \(a^2 - 36\) и на \(a^2 + 3\): \[\begin{aligned} &\frac{a^2 - 36}{a^2 + 3} \cdot \left(\frac{2a + 1}{a - 6} + \frac{2a - 1}{a + 6}\right) = {} \\ &= \frac{a^2 - 36}{a^2 + 3} \cdot \frac{(2a + 1)(a + 6) + (2a - 1)(a - 6)}{(a - 6)(a + 6)} = {} \\ &= \frac{a^2 - 36}{a^2 + 3} \cdot \frac{4(a^2 + 3)}{a^2 - 36} = 4. \end{aligned}\]
в) \((4m + 7)^2 - (4m - 7)^2 = (4m + 7 - 4m + 7)(4m + 7 + 4m - 7) = 14 \cdot 8m = 112m\) — числитель разности в скобках.
\(20m + 35 = 5(4m + 7)\) — знаменатель делителя.
Выражение имеет смысл при \(4m - 7 \neq 0\), \(4m + 7 \neq 0\) и \(m \neq 0\), поэтому дробь можно сократить на \(m\) и на \(4m + 7\): \[\begin{aligned} &\left(\frac{4m + 7}{4m - 7} - \frac{4m - 7}{4m + 7}\right) : \frac{14m}{20m + 35} = {} \\ &= \frac{(4m + 7)^2 - (4m - 7)^2}{(4m - 7)(4m + 7)} \cdot \frac{20m + 35}{14m} = {} \\ &= \frac{112m}{(4m - 7)(4m + 7)} \cdot \frac{5(4m + 7)}{14m} = \frac{8 \cdot 5}{4m - 7} = \frac{40}{4m - 7}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{75}{x}\); б) \(4\); в) \(\frac{40}{4m - 7}\).
Упростите выражение: а) \(\frac{15}{6 + \frac{1}{5}x} \cdot \frac{x+30}{x}\); б) \(\frac{a^2-36}{a^2+3} \cdot \left(\frac{2a+1}{a-6} + \frac{2a-1}{a+6}\right)\); в) \(\left(\frac{4m+7}{4m-7} - \frac{4m-7}{4m+7}\right) : \frac{14m}{20m+35}\).
а) Преобразуем знаменатель первой дроби: \(6 + \frac{1}{5}x = \frac{30 + x}{5} = \frac{x + 30}{5}\). Деление на дробь заменим умножением на обратную дробь. Выражение имеет смысл при \(x \neq 0\) и \(x \neq -30\), поэтому дробь можно сократить на \(x + 30\): \[\begin{aligned} &\frac{15}{6 + \frac{1}{5}x} \cdot \frac{x + 30}{x} = \frac{15}{\frac{x + 30}{5}} \cdot \frac{x + 30}{x} = {} \\ &= \frac{15 \cdot 5}{x + 30} \cdot \frac{x + 30}{x} = \frac{75}{x}. \end{aligned}\]
б) Приведём дроби в скобках к общему знаменателю \((a - 6)(a + 6) = a^2 - 36\); дополнительный множитель первой дроби — \(a + 6\), второй — \(a - 6\). Числитель суммы: \[\begin{aligned} &(2a + 1)(a + 6) + (2a - 1)(a - 6) = 2a^2 + 12a + a + 6 + 2a^2 - 12a - a + 6 = {} \\ &= 4a^2 + 12 = 4(a^2 + 3). \end{aligned}\] Выражение имеет смысл при \(a \neq -6\) и \(a \neq 6\); кроме того, \(a^2 + 3 > 0\) при любом значении \(a\). Поэтому дробь можно сократить на \(a^2 - 36\) и на \(a^2 + 3\): \[\begin{aligned} &\frac{a^2 - 36}{a^2 + 3} \cdot \left(\frac{2a + 1}{a - 6} + \frac{2a - 1}{a + 6}\right) = {} \\ &= \frac{a^2 - 36}{a^2 + 3} \cdot \frac{(2a + 1)(a + 6) + (2a - 1)(a - 6)}{(a - 6)(a + 6)} = {} \\ &= \frac{a^2 - 36}{a^2 + 3} \cdot \frac{4(a^2 + 3)}{a^2 - 36} = 4. \end{aligned}\] Значит, значение выражения не зависит от \(a\) и равно 4.
в) Приведём дроби в скобках к общему знаменателю \((4m - 7)(4m + 7)\). Числитель разности — разность квадратов: \((4m + 7)^2 - (4m - 7)^2 = (4m + 7 - 4m + 7)(4m + 7 + 4m - 7) = 14 \cdot 8m = 112m\). В знаменателе делителя вынесем общий множитель: \(20m + 35 = 5(4m + 7)\). Деление на дробь заменим умножением на обратную дробь. Выражение имеет смысл при \(4m - 7 \neq 0\), \(4m + 7 \neq 0\) и \(m \neq 0\), поэтому дробь можно сократить на \(m\) и на \(4m + 7\): \[\begin{aligned} &\left(\frac{4m + 7}{4m - 7} - \frac{4m - 7}{4m + 7}\right) : \frac{14m}{20m + 35} = {} \\ &= \frac{(4m + 7)^2 - (4m - 7)^2}{(4m - 7)(4m + 7)} \cdot \frac{20m + 35}{14m} = {} \\ &= \frac{112m}{(4m - 7)(4m + 7)} \cdot \frac{5(4m + 7)}{14m} = \frac{8 \cdot 5}{4m - 7} = \frac{40}{4m - 7}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{75}{x}\); б) \(4\); в) \(\frac{40}{4m - 7}\).
