Страница 162 номер 724, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Упростите выражение: а) \(\frac{15}{16} \cdot \left(\frac{2}{3a} + \frac{2}{5a}\right)\); б) \(\left(\frac{1}{a+4} - \frac{1}{a-4}\right) \cdot \frac{a^2-16}{12a}\); в) \(\frac{(x-4)^5}{x^5} : \left(\frac{(x-4)^2}{x^4} : \frac{x^2}{(x-4)^5}\right)\).
а) \[\frac{15}{16} \cdot \left(\frac{2}{3a} + \frac{2}{5a}\right) = \frac{15}{16} \cdot \frac{10 + 6}{15a} = \frac{15}{16} \cdot \frac{16}{15a} = \frac{1}{a}.\]
б) \((a + 4)(a - 4) = a^2 - 16\) — общий знаменатель дробей в скобках. Выражение имеет смысл при \(a \neq 0\), \(a \neq -4\) и \(a \neq 4\), поэтому дробь можно сократить на \(a^2 - 16\): \[\begin{aligned} &\left(\frac{1}{a + 4} - \frac{1}{a - 4}\right) \cdot \frac{a^2 - 16}{12a} = \frac{a - 4 - (a + 4)}{(a + 4)(a - 4)} \cdot \frac{a^2 - 16}{12a} = {} \\ &= \frac{a - 4 - a - 4}{a^2 - 16} \cdot \frac{a^2 - 16}{12a} = -\frac{8}{a^2 - 16} \cdot \frac{a^2 - 16}{12a} = {} \\ &= -\frac{8}{12a} = -\frac{2}{3a}. \end{aligned}\]
в) Выражение имеет смысл при \(x \neq 0\) и \(x \neq 4\), поэтому дроби можно сокращать на степени \(x\) и \(x - 4\). Выражение в скобках: \[\frac{(x - 4)^2}{x^4} : \frac{x^2}{(x - 4)^5} = \frac{(x - 4)^2}{x^4} \cdot \frac{(x - 4)^5}{x^2} = \frac{(x - 4)^7}{x^6}.\] Тогда \[\frac{(x - 4)^5}{x^5} : \frac{(x - 4)^7}{x^6} = \frac{(x - 4)^5}{x^5} \cdot \frac{x^6}{(x - 4)^7} = \frac{x}{(x - 4)^2}.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{a}\); б) \(-\frac{2}{3a}\); в) \(\frac{x}{(x - 4)^2}\).
Упростите выражение: а) \(\frac{15}{16} \cdot \left(\frac{2}{3a} + \frac{2}{5a}\right)\); б) \(\left(\frac{1}{a+4} - \frac{1}{a-4}\right) \cdot \frac{a^2-16}{12a}\); в) \(\frac{(x-4)^5}{x^5} : \left(\frac{(x-4)^2}{x^4} : \frac{x^2}{(x-4)^5}\right)\).
а) Приведём дроби в скобках к общему знаменателю \(15a\) (дополнительный множитель первой дроби — 5, второй — 3): \[\frac{15}{16} \cdot \left(\frac{2}{3a} + \frac{2}{5a}\right) = \frac{15}{16} \cdot \frac{10 + 6}{15a} = \frac{15}{16} \cdot \frac{16}{15a} = \frac{1}{a}.\]
б) Приведём дроби в скобках к общему знаменателю \((a + 4)(a - 4) = a^2 - 16\). Выражение имеет смысл при \(a \neq 0\), \(a \neq -4\) и \(a \neq 4\), поэтому дробь можно сократить на \(a^2 - 16\): \[\begin{aligned} &\left(\frac{1}{a + 4} - \frac{1}{a - 4}\right) \cdot \frac{a^2 - 16}{12a} = \frac{a - 4 - (a + 4)}{(a + 4)(a - 4)} \cdot \frac{a^2 - 16}{12a} = {} \\ &= \frac{a - 4 - a - 4}{a^2 - 16} \cdot \frac{a^2 - 16}{12a} = -\frac{8}{a^2 - 16} \cdot \frac{a^2 - 16}{12a} = {} \\ &= -\frac{8}{12a} = -\frac{2}{3a}. \end{aligned}\]
в) Деление на дробь заменим умножением на обратную дробь. Выражение имеет смысл при \(x \neq 0\) и \(x \neq 4\), поэтому дроби можно сокращать на степени \(x\) и \(x - 4\). Упростим выражение в скобках: \[\frac{(x - 4)^2}{x^4} : \frac{x^2}{(x - 4)^5} = \frac{(x - 4)^2}{x^4} \cdot \frac{(x - 4)^5}{x^2} = \frac{(x - 4)^7}{x^6}.\] Тогда \[\frac{(x - 4)^5}{x^5} : \frac{(x - 4)^7}{x^6} = \frac{(x - 4)^5}{x^5} \cdot \frac{x^6}{(x - 4)^7} = \frac{x}{(x - 4)^2}.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{a}\); б) \(-\frac{2}{3a}\); в) \(\frac{x}{(x - 4)^2}\).
