Страница 162 номер 720, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Вычислите: \(\frac{8^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[3]{9}}{3^{\frac{5}{3}} \cdot \sqrt{2}}\).
\(8 = 2^3\) и \(9 = 3^2\), поэтому \(8^{\frac{1}{2}} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}\) и \(\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}}\). Кроме того, \(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\). Получаем: \[\begin{aligned} &\frac{8^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[3]{9}}{3^{\frac{5}{3}} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}} = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}} = {} \\ &= 2^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{3} - \frac{5}{3}} = 2^1 \cdot 3^{-1} = \frac{2}{3}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{2}{3}\).
Вычислите: \(\frac{8^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[3]{9}}{3^{\frac{5}{3}} \cdot \sqrt{2}}\).
Поскольку \(8 = 2^3\) и \(9 = 3^2\), представим множители в виде степеней чисел 2 и 3 с рациональными показателями: \(8^{\frac{1}{2}} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}\), \(\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}}\), \(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\). Получаем: \[\begin{aligned} &\frac{8^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[3]{9}}{3^{\frac{5}{3}} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}} = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}} = {} \\ &= 2^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{3} - \frac{5}{3}} = 2^1 \cdot 3^{-1} = \frac{2}{3}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{2}{3}\).
