Страница 162 номер 714, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения: а) \(\sqrt[4]{729^{\frac{2}{3}}}\); б) \((3125 \cdot 1024)^{\frac{2}{5}}\); в) \(-225^{\frac{1}{2}} - 121^{\frac{3}{2}} + 32^{\frac{1}{5}}\); г) \(6^{0{,}6} \cdot 6^{\frac{3}{2}} \cdot 6^{-0{,}1}\).
а) \(729 = 3^6\), поэтому \[\sqrt[4]{729^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[4]{(3^6)^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[4]{3^{6 \cdot \frac{2}{3}}} = \sqrt[4]{3^4} = 3.\]
б) \(3125 = 5^5\) и \(1024 = 2^{10}\), поэтому \[\begin{aligned} &(3125 \cdot 1024)^{\frac{2}{5}} = 3125^{\frac{2}{5}} \cdot 1024^{\frac{2}{5}} = (5^5)^{\frac{2}{5}} \cdot (2^{10})^{\frac{2}{5}} = {} \\ &= 5^{5 \cdot \frac{2}{5}} \cdot 2^{10 \cdot \frac{2}{5}} = 5^2 \cdot 2^4 = 25 \cdot 16 = 400. \end{aligned}\]
в) \(-225^{\frac{1}{2}} = -\left(225^{\frac{1}{2}}\right)\) — минус перед первым слагаемым не относится к основанию степени.
\(225 = 15^2\), \(121 = 11^2\) и \(32 = 2^5\), поэтому \[\begin{aligned} &{-}225^{\frac{1}{2}} - 121^{\frac{3}{2}} + 32^{\frac{1}{5}} = -(15^2)^{\frac{1}{2}} - (11^2)^{\frac{3}{2}} + (2^5)^{\frac{1}{5}} = {} \\ &= -15 - 11^3 + 2 = -15 - 1331 + 2 = -1344. \end{aligned}\]
г) \(0{,}6 = \frac{3}{5}\), \(-0{,}1 = -\frac{1}{10}\), поэтому \[\begin{aligned} &6^{0{,}6} \cdot 6^{\frac{3}{2}} \cdot 6^{-0{,}1} = 6^{\frac{3}{5} + \frac{3}{2} - \frac{1}{10}} = {} \\ &= 6^{\frac{6}{10} + \frac{15}{10} - \frac{1}{10}} = 6^{\frac{20}{10}} = 6^2 = 36. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(3\); б) \(400\); в) \(-1344\); г) \(36\).
Найдите значение выражения: а) \(\sqrt[4]{729^{\frac{2}{3}}}\); б) \((3125 \cdot 1024)^{\frac{2}{5}}\); в) \(-225^{\frac{1}{2}} - 121^{\frac{3}{2}} + 32^{\frac{1}{5}}\); г) \(6^{0{,}6} \cdot 6^{\frac{3}{2}} \cdot 6^{-0{,}1}\).
а) Поскольку \(729 = 3^6\), получаем: \[\sqrt[4]{729^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[4]{(3^6)^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[4]{3^{6 \cdot \frac{2}{3}}} = \sqrt[4]{3^4} = 3.\]
б) Поскольку \(3125 = 5^5\) и \(1024 = 2^{10}\), получаем: \[\begin{aligned} &(3125 \cdot 1024)^{\frac{2}{5}} = 3125^{\frac{2}{5}} \cdot 1024^{\frac{2}{5}} = (5^5)^{\frac{2}{5}} \cdot (2^{10})^{\frac{2}{5}} = {} \\ &= 5^{5 \cdot \frac{2}{5}} \cdot 2^{10 \cdot \frac{2}{5}} = 5^2 \cdot 2^4 = 25 \cdot 16 = 400. \end{aligned}\]
в) Минус перед первым слагаемым не относится к основанию степени: \(-225^{\frac{1}{2}} = -\left(225^{\frac{1}{2}}\right)\). Поскольку \(225 = 15^2\), \(121 = 11^2\) и \(32 = 2^5\), получаем: \[\begin{aligned} &{-}225^{\frac{1}{2}} - 121^{\frac{3}{2}} + 32^{\frac{1}{5}} = -(15^2)^{\frac{1}{2}} - (11^2)^{\frac{3}{2}} + (2^5)^{\frac{1}{5}} = {} \\ &= -15 - 11^3 + 2 = -15 - 1331 + 2 = -1344. \end{aligned}\]
г) Запишем показатели \(0{,}6\) и \(-0{,}1\) обыкновенными дробями: \(0{,}6 = \frac{3}{5}\), \(-0{,}1 = -\frac{1}{10}\); при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: \[\begin{aligned} &6^{0{,}6} \cdot 6^{\frac{3}{2}} \cdot 6^{-0{,}1} = 6^{\frac{3}{5} + \frac{3}{2} - \frac{1}{10}} = {} \\ &= 6^{\frac{6}{10} + \frac{15}{10} - \frac{1}{10}} = 6^{\frac{20}{10}} = 6^2 = 36. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(3\); б) \(400\); в) \(-1344\); г) \(36\).
