Страница 162 номер 713, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения: а) \(\sqrt[3]{4096^{\frac{1}{4}}}\); б) \((27 \cdot 8)^{\frac{1}{3}}\); в) \(\left(\frac{1}{36} \cdot 0{,}04\right)^{\frac{1}{2}}\); г) \(10^{\frac{2}{5}} \cdot 10^{-\frac{1}{2}} \cdot 10^{0{,}1}\).
а) \(4096 = 2^{12}\), поэтому \[\sqrt[3]{4096^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{(2^{12})^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{2^{12 \cdot \frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{2^3} = 2.\]
б) \(27 = 3^3\) и \(8 = 2^3\), поэтому \[(27 \cdot 8)^{\frac{1}{3}} = 27^{\frac{1}{3}} \cdot 8^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 2 = 6.\]
в) \(\frac{1}{36} = \left(\frac{1}{6}\right)^2\) и \(0{,}04 = 0{,}2^2\), поэтому \[\left(\frac{1}{36} \cdot 0{,}04\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{36}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot 0{,}04^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{6} \cdot 0{,}2 = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{30}.\]
г) \(0{,}1 = \frac{1}{10}\), поэтому \[10^{\frac{2}{5}} \cdot 10^{-\frac{1}{2}} \cdot 10^{0{,}1} = 10^{\frac{2}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{10}} = 10^{\frac{4}{10} - \frac{5}{10} + \frac{1}{10}} = 10^0 = 1.\]
Ответ: а) \(2\); б) \(6\); в) \(\frac{1}{30}\); г) \(1\).
Найдите значение выражения: а) \(\sqrt[3]{4096^{\frac{1}{4}}}\); б) \((27 \cdot 8)^{\frac{1}{3}}\); в) \(\left(\frac{1}{36} \cdot 0{,}04\right)^{\frac{1}{2}}\); г) \(10^{\frac{2}{5}} \cdot 10^{-\frac{1}{2}} \cdot 10^{0{,}1}\).
а) Поскольку \(4096 = 2^{12}\), получаем: \[\sqrt[3]{4096^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{(2^{12})^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{2^{12 \cdot \frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{2^3} = 2.\]
б) Поскольку \(27 = 3^3\) и \(8 = 2^3\), получаем: \[(27 \cdot 8)^{\frac{1}{3}} = 27^{\frac{1}{3}} \cdot 8^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 2 = 6.\]
в) Поскольку \(\frac{1}{36} = \left(\frac{1}{6}\right)^2\) и \(0{,}04 = 0{,}2^2\), получаем: \[\left(\frac{1}{36} \cdot 0{,}04\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{36}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot 0{,}04^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{6} \cdot 0{,}2 = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{30}.\]
г) Запишем показатель \(0{,}1\) обыкновенной дробью: \(0{,}1 = \frac{1}{10}\); при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: \[10^{\frac{2}{5}} \cdot 10^{-\frac{1}{2}} \cdot 10^{0{,}1} = 10^{\frac{2}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{10}} = 10^{\frac{4}{10} - \frac{5}{10} + \frac{1}{10}} = 10^0 = 1.\]
Ответ: а) \(2\); б) \(6\); в) \(\frac{1}{30}\); г) \(1\).
