Страница 159 номер 708, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \((x + 5)^4 + 4(x + 5)^2 - 21 = 0\); б) \((x^2 - 1)^2 + (x^2 + 4x - 5)^2 = 0\).
а) \((x + 5)^4 = \left((x + 5)^2\right)^2\). Пусть \((x + 5)^2 = t\), тогда \(t^2 + 4t - 21 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100; \\ t_1 &= \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = -7; \\ t_2 &= \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3. \end{aligned}\] Значит, \((x + 5)^2 = -7\) или \((x + 5)^2 = 3\). Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому уравнение \((x + 5)^2 = -7\) корней не имеет. Из уравнения \((x + 5)^2 = 3\) получаем: \(x + 5 = -\sqrt{3}\) или \(x + 5 = \sqrt{3}\), откуда \(x = -5 - \sqrt{3}\) или \(x = -5 + \sqrt{3}\).
б) \((x^2 - 1)^2 \geqslant 0\) и \((x^2 + 4x - 5)^2 \geqslant 0\), поэтому их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю, то есть \(x^2 - 1 = 0\) и \(x^2 + 4x - 5 = 0\). Корни исходного уравнения — общие корни этих двух уравнений.
Из уравнения \(x^2 - 1 = 0\) получаем \(x^2 = 1\), откуда \(x = -1\) или \(x = 1\). Корни уравнения \(x^2 + 4x - 5 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36; \\ x_1 &= \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5; \\ x_2 &= \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = 1. \end{aligned}\] Общий корень двух уравнений — только число 1: число \(-1\) не является корнем второго уравнения, а число \(-5\) — корнем первого.
Ответ: а) \(-5 - \sqrt{3}\); \(-5 + \sqrt{3}\); б) \(1\).
Решите уравнение: а) \((x + 5)^4 + 4(x + 5)^2 - 21 = 0\); б) \((x^2 - 1)^2 + (x^2 + 4x - 5)^2 = 0\).
а) Заметим, что \((x + 5)^4 = \left((x + 5)^2\right)^2\). Пусть \((x + 5)^2 = t\). Тогда уравнение примет вид \(t^2 + 4t - 21 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100; \\ t_1 &= \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = -7; \\ t_2 &= \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3. \end{aligned}\] Значит, \((x + 5)^2 = -7\) или \((x + 5)^2 = 3\). Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому уравнение \((x + 5)^2 = -7\) корней не имеет. Из уравнения \((x + 5)^2 = 3\) получаем: \(x + 5 = -\sqrt{3}\) или \(x + 5 = \sqrt{3}\), откуда \(x = -5 - \sqrt{3}\) или \(x = -5 + \sqrt{3}\).
б) Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому \((x^2 - 1)^2 \geqslant 0\) и \((x^2 + 4x - 5)^2 \geqslant 0\). Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю: если хотя бы одно слагаемое положительно, то и сумма положительна. Значит, \((x^2 - 1)^2 = 0\) и \((x^2 + 4x - 5)^2 = 0\), то есть \(x^2 - 1 = 0\) и \(x^2 + 4x - 5 = 0\). Корни исходного уравнения — общие корни этих двух уравнений.
Из уравнения \(x^2 - 1 = 0\) получаем \(x^2 = 1\), откуда \(x = -1\) или \(x = 1\). Найдём корни уравнения \(x^2 + 4x - 5 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36; \\ x_1 &= \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5; \\ x_2 &= \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = 1. \end{aligned}\] Общий корень двух уравнений — только число 1: число \(-1\) не является корнем второго уравнения, а число \(-5\) — корнем первого.
Ответ: а) \(-5 - \sqrt{3}\); \(-5 + \sqrt{3}\); б) \(1\).
