Страница 158 номер 705, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Вычислите: а) \(729^{\frac{1}{2}} \cdot 729^{\frac{1}{3}}\); б) \((1024 \cdot 243)^{\frac{1}{5}}\).
а) \(729 = 3^6\), поэтому \[\begin{aligned} &729^{\frac{1}{2}} \cdot 729^{\frac{1}{3}} = 729^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = 729^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}} = 729^{\frac{5}{6}} = {} \\ &= \left(3^6\right)^{\frac{5}{6}} = 3^{6 \cdot \frac{5}{6}} = 3^5 = 243. \end{aligned}\]
б) Числа \(1024 = 4^5\) и \(243 = 3^5\) положительны, поэтому \[(1024 \cdot 243)^{\frac{1}{5}} = 1024^{\frac{1}{5}} \cdot 243^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{1024} \cdot \sqrt[5]{243} = 4 \cdot 3 = 12.\]
Ответ: а) 243; б) 12.
Вычислите: а) \(729^{\frac{1}{2}} \cdot 729^{\frac{1}{3}}\); б) \((1024 \cdot 243)^{\frac{1}{5}}\).
а) При перемножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются. Поскольку \(729 = 3^6\), получаем: \[\begin{aligned} &729^{\frac{1}{2}} \cdot 729^{\frac{1}{3}} = 729^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = 729^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}} = 729^{\frac{5}{6}} = {} \\ &= \left(3^6\right)^{\frac{5}{6}} = 3^{6 \cdot \frac{5}{6}} = 3^5 = 243. \end{aligned}\]
б) Степень произведения положительных чисел равна произведению их степеней. Поскольку \(1024 = 4^5\) и \(243 = 3^5\), получаем: \[(1024 \cdot 243)^{\frac{1}{5}} = 1024^{\frac{1}{5}} \cdot 243^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{1024} \cdot \sqrt[5]{243} = 4 \cdot 3 = 12.\]
Ответ: а) 243; б) 12.
