Страница 158 номер 704, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Вычислите: а) \(16^{\frac{3}{4}} \cdot 16^{\frac{1}{2}}\); б) \(\frac{27^{\frac{1}{2}}}{27^{\frac{5}{6}}}\); в) \((16 \cdot 625)^{\frac{1}{4}}\).
а) \(16 = 2^4\), поэтому \[\begin{aligned} &16^{\frac{3}{4}} \cdot 16^{\frac{1}{2}} = 16^{\frac{3}{4} + \frac{1}{2}} = 16^{\frac{3}{4} + \frac{2}{4}} = 16^{\frac{5}{4}} = {} \\ &= \left(2^4\right)^{\frac{5}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{5}{4}} = 2^5 = 32. \end{aligned}\]
б) \(27 = 3^3\), поэтому \[\begin{aligned} &\frac{27^{\frac{1}{2}}}{27^{\frac{5}{6}}} = 27^{\frac{1}{2} - \frac{5}{6}} = 27^{\frac{3}{6} - \frac{5}{6}} = 27^{-\frac{2}{6}} = 27^{-\frac{1}{3}} = {} \\ &= \left(3^3\right)^{-\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)} = 3^{-1} = \frac{1}{3}. \end{aligned}\]
в) Числа \(16 = 2^4\) и \(625 = 5^4\) положительны, поэтому \[(16 \cdot 625)^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} \cdot 625^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{625} = 2 \cdot 5 = 10.\]
Ответ: а) 32; б) \(\frac{1}{3}\); в) 10.
Вычислите: а) \(16^{\frac{3}{4}} \cdot 16^{\frac{1}{2}}\); б) \(\frac{27^{\frac{1}{2}}}{27^{\frac{5}{6}}}\); в) \((16 \cdot 625)^{\frac{1}{4}}\).
а) При перемножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются. Поскольку \(16 = 2^4\), получаем: \[\begin{aligned} &16^{\frac{3}{4}} \cdot 16^{\frac{1}{2}} = 16^{\frac{3}{4} + \frac{1}{2}} = 16^{\frac{3}{4} + \frac{2}{4}} = 16^{\frac{5}{4}} = {} \\ &= \left(2^4\right)^{\frac{5}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{5}{4}} = 2^5 = 32. \end{aligned}\]
б) При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются. Поскольку \(27 = 3^3\), получаем: \[\begin{aligned} &\frac{27^{\frac{1}{2}}}{27^{\frac{5}{6}}} = 27^{\frac{1}{2} - \frac{5}{6}} = 27^{\frac{3}{6} - \frac{5}{6}} = 27^{-\frac{2}{6}} = 27^{-\frac{1}{3}} = {} \\ &= \left(3^3\right)^{-\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)} = 3^{-1} = \frac{1}{3}. \end{aligned}\]
в) Степень произведения положительных чисел равна произведению их степеней. Поскольку \(16 = 2^4\) и \(625 = 5^4\), получаем: \[(16 \cdot 625)^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} \cdot 625^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{625} = 2 \cdot 5 = 10.\]
Ответ: а) 32; б) \(\frac{1}{3}\); в) 10.
