Страница 158 номер 702, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения: а) \(0{,}125^{\frac{2}{3}}\); б) \(125^{\frac{2}{3}} \cdot 128^{-\frac{1}{7}} + 49^{\frac{1}{2}} \cdot 1024^{-0{,}2} - 625^{0{,}25}\).
а) \(0{,}125 = 0{,}5^3\), поэтому \[\begin{aligned} &0{,}125^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{0{,}125^2} = \left(\sqrt[3]{0{,}125}\right)^2 = {} \\ &= \left(\sqrt[3]{0{,}5^3}\right)^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25. \end{aligned}\]
б) \(-0{,}2 = -\frac{1}{5}\), \(0{,}25 = \frac{1}{4}\), \(125 = 5^3\), \(128 = 2^7\), \(49 = 7^2\), \(1024 = 4^5\) и \(625 = 5^4\), поэтому \[\begin{aligned} &125^{\frac{2}{3}} \cdot 128^{-\frac{1}{7}} + 49^{\frac{1}{2}} \cdot 1024^{-0{,}2} - 625^{0{,}25} = {} \\ &= \left(5^3\right)^{\frac{2}{3}} \cdot \left(2^7\right)^{-\frac{1}{7}} + \left(7^2\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(4^5\right)^{-\frac{1}{5}} - \left(5^4\right)^{\frac{1}{4}} = {} \\ &= 5^2 \cdot 2^{-1} + 7 \cdot 4^{-1} - 5 = \frac{25}{2} + \frac{7}{4} - 5 = {} \\ &= \frac{50 + 7 - 20}{4} = \frac{37}{4} = 9{,}25. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(0{,}25\); б) \(9{,}25\).
Найдите значение выражения: а) \(0{,}125^{\frac{2}{3}}\); б) \(125^{\frac{2}{3}} \cdot 128^{-\frac{1}{7}} + 49^{\frac{1}{2}} \cdot 1024^{-0{,}2} - 625^{0{,}25}\).
а) Поскольку \(0{,}125 = 0{,}5^3\), представим степень в виде корня и воспользуемся свойством возведения корня в степень: \[\begin{aligned} &0{,}125^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{0{,}125^2} = \left(\sqrt[3]{0{,}125}\right)^2 = {} \\ &= \left(\sqrt[3]{0{,}5^3}\right)^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25. \end{aligned}\]
б) Запишем десятичные показатели обыкновенными дробями: \(-0{,}2 = -\frac{1}{5}\), \(0{,}25 = \frac{1}{4}\). Поскольку \(125 = 5^3\), \(128 = 2^7\), \(49 = 7^2\), \(1024 = 4^5\) и \(625 = 5^4\), воспользуемся свойством возведения степени в степень; дроби приведём к общему знаменателю 4: \[\begin{aligned} &125^{\frac{2}{3}} \cdot 128^{-\frac{1}{7}} + 49^{\frac{1}{2}} \cdot 1024^{-0{,}2} - 625^{0{,}25} = {} \\ &= \left(5^3\right)^{\frac{2}{3}} \cdot \left(2^7\right)^{-\frac{1}{7}} + \left(7^2\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(4^5\right)^{-\frac{1}{5}} - \left(5^4\right)^{\frac{1}{4}} = {} \\ &= 5^2 \cdot 2^{-1} + 7 \cdot 4^{-1} - 5 = \frac{25}{2} + \frac{7}{4} - 5 = {} \\ &= \frac{50 + 7 - 20}{4} = \frac{37}{4} = 9{,}25. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(0{,}25\); б) \(9{,}25\).
