Страница 153 номер 691, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^3 + 9x^2 - 25x - 225 = 0\); б) \(x^4 = (2x - 8)^2\).
а)
\[\begin{aligned} &x^3 + 9x^2 - 25x - 225 = x^2(x + 9) - 25(x + 9) = {} \\ &= (x + 9)(x^2 - 25) = (x + 9)(x - 5)(x + 5). \end{aligned}\]
\((x + 9)(x - 5)(x + 5) = 0\);
\(x + 9 = 0\), или \(x - 5 = 0\), или \(x + 5 = 0\);
\(x = -9\), или \(x = 5\), или \(x = -5\).
б) \(x^4 = (x^2)^2\): \[\begin{aligned} (x^2)^2 - (2x - 8)^2 &= 0; \\ (x^2 - (2x - 8))(x^2 + (2x - 8)) &= 0; \\ (x^2 - 2x + 8)(x^2 + 2x - 8) &= 0. \end{aligned}\] Уравнение \(x^2 - 2x + 8 = 0\) корней не имеет: его дискриминант \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28\) отрицателен. \[\begin{aligned} x^2 + 2x - 8 &= 0; \\ D &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36; \\ x_1 &= \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4; \\ x_2 &= \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-9\); \(-5\); \(5\); б) \(-4\); \(2\).
Решите уравнение: а) \(x^3 + 9x^2 - 25x - 225 = 0\); б) \(x^4 = (2x - 8)^2\).
а) Сгруппируем слагаемые и вынесем за скобки общие множители:
\[\begin{aligned} &x^3 + 9x^2 - 25x - 225 = x^2(x + 9) - 25(x + 9) = {} \\ &= (x + 9)(x^2 - 25) = (x + 9)(x - 5)(x + 5). \end{aligned}\]
Уравнение примет вид \((x + 9)(x - 5)(x + 5) = 0\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x + 9 = 0\), или \(x - 5 = 0\), или \(x + 5 = 0\);
\(x = -9\), или \(x = 5\), или \(x = -5\).
б) Представим левую часть в виде квадрата: \(x^4 = (x^2)^2\). Перенесём все слагаемые в левую часть и разложим её на множители по формуле разности квадратов: \[\begin{aligned} (x^2)^2 - (2x - 8)^2 &= 0; \\ (x^2 - (2x - 8))(x^2 + (2x - 8)) &= 0; \\ (x^2 - 2x + 8)(x^2 + 2x - 8) &= 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Если первый множитель равен нулю, получаем уравнение \(x^2 - 2x + 8 = 0\); его дискриминант \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28\) отрицателен, поэтому корней это уравнение не имеет. Если второй множитель равен нулю, получаем квадратное уравнение: \[\begin{aligned} x^2 + 2x - 8 &= 0; \\ D &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36; \\ x_1 &= \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4; \\ x_2 &= \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-9\); \(-5\); \(5\); б) \(-4\); \(2\).
