Страница 153 номер 690, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

а) Вынесем в числителе второй дроби общий множитель \(2b\) за скобки: \(2ab - 2b^2 = 2b(a - b)\). Сократим дробь на \(3b\): \[\frac{12a^2}{b^2} \cdot \frac{2ab - 2b^2}{3} = \frac{12a^2 \cdot 2b(a - b)}{b^2 \cdot 3} = \frac{8a^2(a - b)}{b}.\]

б) Вынесем общие множители за скобки: \(-bn - ab = -b(n + a)\), \(mn + am = m(n + a)\). Сократим дробь на \(n + a\) и вынесем знак минус из знаменателя перед дробью: \[\frac{3m^4}{-bn - ab} \cdot \frac{mn + am}{5b} = \frac{3m^4 \cdot m(n + a)}{-b(n + a) \cdot 5b} = -\frac{3m^5}{5b^2}.\]

в) Найдём корни квадратного трёхчлена \(2x^2 + 15x + 7\): \[\begin{aligned} 2x^2 + 15x + 7 &= 0; \\ D &= 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 225 - 56 = 169; \\ x_1 &= \frac{-15 - \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 - 13}{4} = -7; \\ x_2 &= \frac{-15 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 + 13}{4} = -0{,}5. \end{aligned}\] Значит, \(2x^2 + 15x + 7 = 2(x + 7)(x + 0{,}5) = (x + 7)(2x + 1)\). Найдём корни квадратного трёхчлена \(2x^2 - 15x - 8\): \[\begin{aligned} 2x^2 - 15x - 8 &= 0; \\ D &= (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 225 + 64 = 289; \\ x_1 &= \frac{15 - \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 17}{4} = -0{,}5; \\ x_2 &= \frac{15 + \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 17}{4} = 8. \end{aligned}\] Значит, \(2x^2 - 15x - 8 = 2(x + 0{,}5)(x - 8) = (2x + 1)(x - 8)\). Корни трёхчлена \(x^2 + 15x + 56\) — числа \(-8\) и \(-7\) по теореме, обратной теореме Виета (\(-8 + (-7) = -15\), \(-8 \cdot (-7) = 56\)), поэтому \(x^2 + 15x + 56 = (x + 8)(x + 7)\). Кроме того, \(x^2 + 8x = x(x + 8)\). Сократим дробь на \((2x + 1)(x + 8)\): \[\begin{aligned} &\frac{2x^2 + 15x + 7}{x^2 + 8x} \cdot \frac{x^2 + 15x + 56}{2x^2 - 15x - 8} = \frac{(x + 7)(2x + 1) \cdot (x + 8)(x + 7)}{x(x + 8) \cdot (2x + 1)(x - 8)} = {} \\ &= \frac{(x + 7)^2}{x(x - 8)}. \end{aligned}\]

Ответ: а) \(\frac{8a^2(a - b)}{b}\); б) \(-\frac{3m^5}{5b^2}\); в) \(\frac{(x + 7)^2}{x(x - 8)}\).