Страница 153 номер 688, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^3 - 6x^2 = 49x - 294\); б) \(x(x^2 + 20x + 100) = 11(x + 10)\).
а) \(x^3 - 6x^2 - 49x + 294 = 0\).
\[\begin{aligned} &x^3 - 6x^2 - 49x + 294 = x^2(x - 6) - 49(x - 6) = {} \\ &= (x - 6)(x^2 - 49) = (x - 6)(x - 7)(x + 7). \end{aligned}\]
\((x - 6)(x - 7)(x + 7) = 0\);
\(x - 6 = 0\), или \(x - 7 = 0\), или \(x + 7 = 0\);
\(x = 6\), или \(x = 7\), или \(x = -7\).
б) \(x^2 + 20x + 100 = (x + 10)^2\): \[\begin{aligned} x(x + 10)^2 &= 11(x + 10); \\ x(x + 10)^2 - 11(x + 10) &= 0; \\ (x + 10)(x(x + 10) - 11) &= 0; \\ (x + 10)(x^2 + 10x - 11) &= 0. \end{aligned}\] Первый множитель равен нулю при \(x = -10\). \[\begin{aligned} x^2 + 10x - 11 &= 0; \\ D &= 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 100 + 44 = 144; \\ x_1 &= \frac{-10 - \sqrt{144}}{2} = \frac{-10 - 12}{2} = -11; \\ x_2 &= \frac{-10 + \sqrt{144}}{2} = \frac{-10 + 12}{2} = 1. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-7\); \(6\); \(7\); б) \(-11\); \(-10\); \(1\).
Решите уравнение: а) \(x^3 - 6x^2 = 49x - 294\); б) \(x(x^2 + 20x + 100) = 11(x + 10)\).
а) Перенесём все слагаемые в левую часть: \(x^3 - 6x^2 - 49x + 294 = 0\). Сгруппируем слагаемые и вынесем за скобки общие множители:
\[\begin{aligned} &x^3 - 6x^2 - 49x + 294 = x^2(x - 6) - 49(x - 6) = {} \\ &= (x - 6)(x^2 - 49) = (x - 6)(x - 7)(x + 7). \end{aligned}\]
Уравнение примет вид \((x - 6)(x - 7)(x + 7) = 0\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x - 6 = 0\), или \(x - 7 = 0\), или \(x + 7 = 0\);
\(x = 6\), или \(x = 7\), или \(x = -7\).
б) Выражение в скобках — полный квадрат: \(x^2 + 20x + 100 = (x + 10)^2\). Перенесём все слагаемые в левую часть и вынесем за скобки общий множитель \(x + 10\): \[\begin{aligned} x(x + 10)^2 &= 11(x + 10); \\ x(x + 10)^2 - 11(x + 10) &= 0; \\ (x + 10)(x(x + 10) - 11) &= 0; \\ (x + 10)(x^2 + 10x - 11) &= 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Если первый множитель равен нулю, то \(x = -10\). Если второй множитель равен нулю, получаем квадратное уравнение: \[\begin{aligned} x^2 + 10x - 11 &= 0; \\ D &= 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 100 + 44 = 144; \\ x_1 &= \frac{-10 - \sqrt{144}}{2} = \frac{-10 - 12}{2} = -11; \\ x_2 &= \frac{-10 + \sqrt{144}}{2} = \frac{-10 + 12}{2} = 1. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-7\); \(6\); \(7\); б) \(-11\); \(-10\); \(1\).
