Страница 153 номер 686, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения \(\sqrt[5]{-5\sqrt{10} + \sqrt{7}} \cdot \sqrt[5]{5\sqrt{10} + \sqrt{7}}\).
\(5\sqrt{10} = \sqrt{25 \cdot 10} = \sqrt{250}\) и \(7 < 250\), поэтому \(\sqrt{7} < 5\sqrt{10}\). Значит, подкоренное выражение \(-5\sqrt{10} + \sqrt{7}\) отрицательно, а выражение \(5\sqrt{10} + \sqrt{7}\) положительно.
Показатель корня нечётный, поэтому знак минус можно вынести из-под знака первого корня: \(\sqrt[5]{-5\sqrt{10} + \sqrt{7}} = \sqrt[5]{-(5\sqrt{10} - \sqrt{7})} = -\sqrt[5]{5\sqrt{10} - \sqrt{7}}\).
Подкоренные выражения \(5\sqrt{10} - \sqrt{7}\) и \(5\sqrt{10} + \sqrt{7}\) положительны, поэтому \[\begin{aligned} &\sqrt[5]{-5\sqrt{10} + \sqrt{7}} \cdot \sqrt[5]{5\sqrt{10} + \sqrt{7}} = {} \\ &= -\sqrt[5]{5\sqrt{10} - \sqrt{7}} \cdot \sqrt[5]{5\sqrt{10} + \sqrt{7}} = {} \\ &= -\sqrt[5]{(5\sqrt{10} - \sqrt{7})(5\sqrt{10} + \sqrt{7})} = -\sqrt[5]{(5\sqrt{10})^2 - (\sqrt{7})^2} = {} \\ &= -\sqrt[5]{250 - 7} = -\sqrt[5]{243} = -\sqrt[5]{3^5} = -3. \end{aligned}\]
Ответ: \(-3\).
Найдите значение выражения \(\sqrt[5]{-5\sqrt{10} + \sqrt{7}} \cdot \sqrt[5]{5\sqrt{10} + \sqrt{7}}\).
Сравним числа \(\sqrt{7}\) и \(5\sqrt{10}\): \(5\sqrt{10} = \sqrt{25 \cdot 10} = \sqrt{250}\) и \(7 < 250\), поэтому \(\sqrt{7} < 5\sqrt{10}\). Значит, подкоренное выражение \(-5\sqrt{10} + \sqrt{7}\) отрицательно, а выражение \(5\sqrt{10} + \sqrt{7}\) положительно как сумма положительных чисел.
Произведение корней можно заменить корнем из произведения, когда подкоренные выражения неотрицательны. Поэтому сначала вынесем знак минус из-под знака первого корня — это можно сделать, так как показатель корня нечётный: \(\sqrt[5]{-5\sqrt{10} + \sqrt{7}} = \sqrt[5]{-(5\sqrt{10} - \sqrt{7})} = -\sqrt[5]{5\sqrt{10} - \sqrt{7}}\). Подкоренные выражения \(5\sqrt{10} - \sqrt{7}\) и \(5\sqrt{10} + \sqrt{7}\) положительны, поэтому произведение корней равно корню из произведения подкоренных выражений: \[\begin{aligned} &\sqrt[5]{-5\sqrt{10} + \sqrt{7}} \cdot \sqrt[5]{5\sqrt{10} + \sqrt{7}} = {} \\ &= -\sqrt[5]{5\sqrt{10} - \sqrt{7}} \cdot \sqrt[5]{5\sqrt{10} + \sqrt{7}} = {} \\ &= -\sqrt[5]{(5\sqrt{10} - \sqrt{7})(5\sqrt{10} + \sqrt{7})} = -\sqrt[5]{(5\sqrt{10})^2 - (\sqrt{7})^2} = {} \\ &= -\sqrt[5]{250 - 7} = -\sqrt[5]{243} = -\sqrt[5]{3^5} = -3. \end{aligned}\]
Ответ: \(-3\).
