Страница 153 номер 685, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях \(x\) определено выражение: а) \(\sqrt[9]{12 - 4x}\); б) \(\sqrt{(3 - x)(6 + x)}\)?
а) Показатель корня 9 — нечётное число, а подкоренное выражение \(12 - 4x\) имеет смысл при любом значении \(x\), поэтому выражение \(\sqrt[9]{12 - 4x}\) определено на промежутке \((-\infty; +\infty)\).
б) Показатель квадратного корня 2 — чётное число, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[(3 - x)(6 + x) \geqslant 0.\]
Произведение обращается в нуль при \(x = -6\) и при \(x = 3\).
При \(x > 3\) множитель \(3 - x\) отрицателен, а \(6 + x\) положителен, поэтому произведение отрицательно.
При переходе через каждую из этих точек знак меняет ровно один множитель, поэтому на промежутке \((-6; 3)\) произведение положительно, на промежутке \((-\infty; -6)\) — отрицательно.
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-6\) и 3 входят в решение. Значит, выражение \(\sqrt{(3 - x)(6 + x)}\) определено на промежутке \([-6; 3]\).
Ответ: а) \((-\infty; +\infty)\); б) \([-6; 3]\).
При каких значениях \(x\) определено выражение: а) \(\sqrt[9]{12 - 4x}\); б) \(\sqrt{(3 - x)(6 + x)}\)?
а) Показатель корня 9 — нечётное число, а корень нечётной степени определён для любого числа. Подкоренное выражение \(12 - 4x\) имеет смысл при любом значении \(x\), поэтому выражение \(\sqrt[9]{12 - 4x}\) определено при всех значениях \(x\), то есть на промежутке \((-\infty; +\infty)\).
б) Квадратный корень — корень второй степени, показатель 2 — чётное число. По определению арифметического корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[(3 - x)(6 + x) \geqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Произведение обращается в нуль при \(x = -6\) и при \(x = 3\). При \(x > 3\) множитель \(3 - x\) отрицателен, а множитель \(6 + x\) положителен, поэтому произведение отрицательно. При переходе через каждую из этих точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-6; 3)\) оно положительно, на промежутке \((-\infty; -6)\) — отрицательно.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-6\) и 3 входят в решение. Значит, выражение \(\sqrt{(3 - x)(6 + x)}\) определено на промежутке \([-6; 3]\).
Ответ: а) \((-\infty; +\infty)\); б) \([-6; 3]\).
