Страница 153 номер 684, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения \(\sqrt[5]{6 - 2\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{6 + 2\sqrt{17}}\).
\(6 = \sqrt{36}\), \(2\sqrt{17} = \sqrt{4 \cdot 17} = \sqrt{68}\) и \(36 < 68\), поэтому \(6 < 2\sqrt{17}\). Значит, подкоренное выражение \(6 - 2\sqrt{17}\) отрицательно, а выражение \(6 + 2\sqrt{17}\) положительно.
Показатель корня нечётный, поэтому знак минус можно вынести из-под знака первого корня: \(\sqrt[5]{6 - 2\sqrt{17}} = \sqrt[5]{-(2\sqrt{17} - 6)} = -\sqrt[5]{2\sqrt{17} - 6}\).
Подкоренные выражения \(2\sqrt{17} - 6\) и \(2\sqrt{17} + 6\) положительны, поэтому \[\begin{aligned} &\sqrt[5]{6 - 2\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{6 + 2\sqrt{17}} = {} \\ &= -\sqrt[5]{2\sqrt{17} - 6} \cdot \sqrt[5]{2\sqrt{17} + 6} = {} \\ &= -\sqrt[5]{(2\sqrt{17} - 6)(2\sqrt{17} + 6)} = -\sqrt[5]{(2\sqrt{17})^2 - 6^2} = {} \\ &= -\sqrt[5]{68 - 36} = -\sqrt[5]{32} = -\sqrt[5]{2^5} = -2. \end{aligned}\]
Ответ: \(-2\).
Найдите значение выражения \(\sqrt[5]{6 - 2\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{6 + 2\sqrt{17}}\).
Сравним числа 6 и \(2\sqrt{17}\): \(6 = \sqrt{36}\), \(2\sqrt{17} = \sqrt{4 \cdot 17} = \sqrt{68}\) и \(36 < 68\), поэтому \(6 < 2\sqrt{17}\). Значит, подкоренное выражение \(6 - 2\sqrt{17}\) отрицательно, а выражение \(6 + 2\sqrt{17}\) положительно как сумма положительных чисел.
Произведение корней можно заменить корнем из произведения, когда подкоренные выражения неотрицательны. Поэтому сначала вынесем знак минус из-под знака первого корня — это можно сделать, так как показатель корня нечётный: \(\sqrt[5]{6 - 2\sqrt{17}} = \sqrt[5]{-(2\sqrt{17} - 6)} = -\sqrt[5]{2\sqrt{17} - 6}\). Подкоренные выражения \(2\sqrt{17} - 6\) и \(2\sqrt{17} + 6\) положительны, поэтому произведение корней равно корню из произведения подкоренных выражений: \[\begin{aligned} &\sqrt[5]{6 - 2\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{6 + 2\sqrt{17}} = {} \\ &= -\sqrt[5]{2\sqrt{17} - 6} \cdot \sqrt[5]{2\sqrt{17} + 6} = {} \\ &= -\sqrt[5]{(2\sqrt{17} - 6)(2\sqrt{17} + 6)} = -\sqrt[5]{(2\sqrt{17})^2 - 6^2} = {} \\ &= -\sqrt[5]{68 - 36} = -\sqrt[5]{32} = -\sqrt[5]{2^5} = -2. \end{aligned}\]
Ответ: \(-2\).
