Страница 153 номер 683, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях \(x\) определено выражение: а) \(\sqrt[6]{x - 4}\); б) \(\sqrt[3]{5 + x}\); в) \(\sqrt[8]{\frac{1}{x + 2}}\)?
а) Показатель корня 6 — чётное число, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[\begin{aligned} x - 4 &\geqslant 0; \\ x &\geqslant 4. \end{aligned}\] Значит, выражение \(\sqrt[6]{x - 4}\) определено на промежутке \([4; +\infty)\).
б) Показатель корня 3 — нечётное число, а подкоренное выражение \(5 + x\) имеет смысл при любом значении \(x\), поэтому выражение \(\sqrt[3]{5 + x}\) определено на промежутке \((-\infty; +\infty)\).
в) Показатель корня 8 — чётное число, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[\frac{1}{x + 2} \geqslant 0.\] Числитель — положительное число 1, поэтому дробь не обращается в нуль; при \(x = -2\) она не определена. Дробь положительна, когда положителен её знаменатель: \[\begin{aligned} x + 2 &> 0; \\ x &> -2. \end{aligned}\] Значит, выражение \(\sqrt[8]{\frac{1}{x + 2}}\) определено на промежутке \((-2; +\infty)\).
Ответ: а) \([4; +\infty)\); б) \((-\infty; +\infty)\); в) \((-2; +\infty)\).
При каких значениях \(x\) определено выражение: а) \(\sqrt[6]{x - 4}\); б) \(\sqrt[3]{5 + x}\); в) \(\sqrt[8]{\frac{1}{x + 2}}\)?
а) Показатель корня 6 — чётное число. По определению арифметического корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[\begin{aligned} x - 4 &\geqslant 0; \\ x &\geqslant 4. \end{aligned}\] Значит, выражение \(\sqrt[6]{x - 4}\) определено при \(x \geqslant 4\), то есть на промежутке \([4; +\infty)\).
б) Показатель корня 3 — нечётное число, а корень нечётной степени определён для любого числа. Подкоренное выражение \(5 + x\) имеет смысл при любом значении \(x\), поэтому выражение \(\sqrt[3]{5 + x}\) определено при всех значениях \(x\), то есть на промежутке \((-\infty; +\infty)\).
в) Показатель корня 8 — чётное число. По определению арифметического корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[\frac{1}{x + 2} \geqslant 0.\] Числитель дроби — положительное число 1, поэтому дробь не обращается в нуль; при \(x = -2\) она не определена. Дробь с положительным числителем положительна тогда и только тогда, когда положителен её знаменатель: \[\begin{aligned} x + 2 &> 0; \\ x &> -2. \end{aligned}\] Значит, выражение \(\sqrt[8]{\frac{1}{x + 2}}\) определено при \(x > -2\), то есть на промежутке \((-2; +\infty)\).
Ответ: а) \([4; +\infty)\); б) \((-\infty; +\infty)\); в) \((-2; +\infty)\).
