Страница 153 номер 682, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
а) \(25 = 5^2\), \(9^3 = (3^2)^3 = 3^6\), \(16 = 2^4\), \(729 = 3^6\).
Подкоренные выражения положительны, поэтому
\[\begin{aligned} &\sqrt[6]{25 \cdot 9^3 \cdot 2^8} \cdot \sqrt[6]{16 \cdot 5^4 \cdot 729} = {} \\ &= \sqrt[6]{5^2 \cdot 3^6 \cdot 2^8 \cdot 2^4 \cdot 5^4 \cdot 3^6} = \sqrt[6]{2^{12} \cdot 3^{12} \cdot 5^6} = {} \\ &= \sqrt[6]{(2^2 \cdot 3^2 \cdot 5)^6} = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180. \end{aligned}\]
б) Под знаком корня четыре отрицательных множителя: \(-4\), \(-6\), \(-21\) и \(-3\). Их число чётное, поэтому подкоренное выражение положительно и равно произведению модулей множителей.
\(4 = 2^2\), \(6 = 2 \cdot 3\), \(49 = 7^2\), \(27 = 3^3\), \(21 = 3 \cdot 7\):
\[\begin{aligned} &4 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 49 \cdot 27 \cdot 21 \cdot 7 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^6 \cdot 7^4 = {} \\ &= (2 \cdot 3 \cdot 7)^4 \cdot 3^2 = 42^4 \cdot 9. \end{aligned}\]
\(\sqrt[4]{9} = \sqrt[2 \cdot 2]{9} = \sqrt{\sqrt{9}} = \sqrt{3}\).
Числа \(42^4\) и 9 положительны, поэтому
\[\begin{aligned} &\sqrt[4]{(-4) \cdot 2 \cdot (-6) \cdot 49 \cdot 27 \cdot (-21) \cdot 7 \cdot (-3)} = {} \\ &= \sqrt[4]{42^4 \cdot 9} = \sqrt[4]{42^4} \cdot \sqrt[4]{9} = 42\sqrt[4]{9} = 42\sqrt{3}. \end{aligned}\]
в) Под знаком корня один отрицательный множитель \(-24\), поэтому подкоренное выражение отрицательно. Показатель корня нечётный, поэтому знак минус можно вынести из-под знака корня.
\(16 = 2^4\), \(6^2 = 2^2 \cdot 3^2\), \(24 = 2^3 \cdot 3\), \(27 = 3^3\); тогда \(16 \cdot 6^2 \cdot 24 \cdot 27 = 2^9 \cdot 3^6 = (2^3 \cdot 3^2)^3\), а \(125 = 5^3\).
Числитель и знаменатель полученной дроби положительны, поэтому
\[\begin{aligned} &\sqrt[3]{\frac{16 \cdot 6^2 \cdot (-24) \cdot 27}{125}} = -\sqrt[3]{\frac{16 \cdot 6^2 \cdot 24 \cdot 27}{125}} = {} \\ &= -\sqrt[3]{\frac{(2^3 \cdot 3^2)^3}{5^3}} = -\frac{\sqrt[3]{(2^3 \cdot 3^2)^3}}{\sqrt[3]{5^3}} = {} \\ &= -\frac{2^3 \cdot 3^2}{5} = -\frac{72}{5} = -14{,}4. \end{aligned}\]
г) Подкоренное выражение положительно, поэтому \[\begin{aligned} &\sqrt{\sqrt{6^8 \cdot 5^4}} = \sqrt[2 \cdot 2]{6^8 \cdot 5^4} = \sqrt[4]{6^8 \cdot 5^4} = {} \\ &= \sqrt[4]{(6^2 \cdot 5)^4} = 6^2 \cdot 5 = 180. \end{aligned}\]
д) \(32 \cdot 243 = 2^5 \cdot 3^5 = 6^5\), \(4096 = 2^{12} = (2^2)^6 = 4^6\): \[\begin{aligned} &{-}\sqrt[5]{32 \cdot 243} + 1{,}5 \cdot \sqrt[6]{4096} = -\sqrt[5]{6^5} + 1{,}5 \cdot \sqrt[6]{4^6} = {} \\ &= -6 + 1{,}5 \cdot 4 = -6 + 6 = 0. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(180\); б) \(42\sqrt{3}\); в) \(-14{,}4\); г) \(180\); д) \(0\).
а) Представим множители в виде степеней простых чисел: \(25 = 5^2\), \(9^3 = (3^2)^3 = 3^6\), \(16 = 2^4\), \(729 = 3^6\). Подкоренные выражения положительны, а произведение корней равно корню из произведения: \[\begin{aligned} &\sqrt[6]{25 \cdot 9^3 \cdot 2^8} \cdot \sqrt[6]{16 \cdot 5^4 \cdot 729} = {} \\ &= \sqrt[6]{5^2 \cdot 3^6 \cdot 2^8 \cdot 2^4 \cdot 5^4 \cdot 3^6} = \sqrt[6]{2^{12} \cdot 3^{12} \cdot 5^6} = {} \\ &= \sqrt[6]{(2^2 \cdot 3^2 \cdot 5)^6} = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180. \end{aligned}\]
б) Под знаком корня четыре отрицательных множителя: \(-4\), \(-6\), \(-21\) и \(-3\). Произведение чётного числа отрицательных множителей положительно, поэтому подкоренное выражение равно произведению модулей множителей. Разложим модули на простые множители (\(4 = 2^2\), \(6 = 2 \cdot 3\), \(49 = 7^2\), \(27 = 3^3\), \(21 = 3 \cdot 7\)): \[\begin{aligned} &4 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 49 \cdot 27 \cdot 21 \cdot 7 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^6 \cdot 7^4 = {} \\ &= (2 \cdot 3 \cdot 7)^4 \cdot 3^2 = 42^4 \cdot 9. \end{aligned}\] Числа \(42^4\) и 9 положительны, поэтому корень из их произведения равен произведению корней, а по свойству извлечения корня из корня \(\sqrt[4]{9} = \sqrt[2 \cdot 2]{9} = \sqrt{\sqrt{9}} = \sqrt{3}\): \[\begin{aligned} &\sqrt[4]{(-4) \cdot 2 \cdot (-6) \cdot 49 \cdot 27 \cdot (-21) \cdot 7 \cdot (-3)} = {} \\ &= \sqrt[4]{42^4 \cdot 9} = \sqrt[4]{42^4} \cdot \sqrt[4]{9} = 42\sqrt[4]{9} = 42\sqrt{3}. \end{aligned}\]
в) Под знаком корня один отрицательный множитель \(-24\), поэтому подкоренное выражение отрицательно. Показатель корня нечётный, поэтому знак минус можно вынести из-под знака корня. Разложим множители на простые: \(16 = 2^4\), \(6^2 = 2^2 \cdot 3^2\), \(24 = 2^3 \cdot 3\), \(27 = 3^3\); тогда \(16 \cdot 6^2 \cdot 24 \cdot 27 = 2^9 \cdot 3^6 = (2^3 \cdot 3^2)^3\), а \(125 = 5^3\). Числитель и знаменатель полученной дроби положительны, поэтому корень из частного равен частному корней: \[\begin{aligned} &\sqrt[3]{\frac{16 \cdot 6^2 \cdot (-24) \cdot 27}{125}} = -\sqrt[3]{\frac{16 \cdot 6^2 \cdot 24 \cdot 27}{125}} = {} \\ &= -\sqrt[3]{\frac{(2^3 \cdot 3^2)^3}{5^3}} = -\frac{\sqrt[3]{(2^3 \cdot 3^2)^3}}{\sqrt[3]{5^3}} = {} \\ &= -\frac{2^3 \cdot 3^2}{5} = -\frac{72}{5} = -14{,}4. \end{aligned}\]
г) Подкоренное выражение положительно. Воспользуемся свойством извлечения корня из корня: \[\begin{aligned} &\sqrt{\sqrt{6^8 \cdot 5^4}} = \sqrt[2 \cdot 2]{6^8 \cdot 5^4} = \sqrt[4]{6^8 \cdot 5^4} = {} \\ &= \sqrt[4]{(6^2 \cdot 5)^4} = 6^2 \cdot 5 = 180. \end{aligned}\]
д) Представим подкоренные выражения в виде степеней: \(32 \cdot 243 = 2^5 \cdot 3^5 = 6^5\), \(4096 = 2^{12} = (2^2)^6 = 4^6\): \[\begin{aligned} &{-}\sqrt[5]{32 \cdot 243} + 1{,}5 \cdot \sqrt[6]{4096} = -\sqrt[5]{6^5} + 1{,}5 \cdot \sqrt[6]{4^6} = {} \\ &= -6 + 1{,}5 \cdot 4 = -6 + 6 = 0. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(180\); б) \(42\sqrt{3}\); в) \(-14{,}4\); г) \(180\); д) \(0\).
