Страница 153 номер 681, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
а) Подкоренные выражения положительны, поэтому \[\begin{aligned} &\sqrt[3]{2^4 \cdot 3^2} \cdot \sqrt[3]{2^2 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^4 \cdot 3^2 \cdot 2^2 \cdot 3} = {} \\ &= \sqrt[3]{2^6 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{(2^2 \cdot 3)^3} = 2^2 \cdot 3 = 12. \end{aligned}\]
б) \(4^3 = (2^2)^3 = 2^6\), \(27 = 3^3\), \(25 = 5^2\).
Подкоренные выражения положительны, поэтому
\[\begin{aligned} &\sqrt[5]{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^3} \cdot \sqrt[5]{4^3 \cdot 27 \cdot 25} = {} \\ &= \sqrt[5]{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5^2} = \sqrt[5]{2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^5} = {} \\ &= \sqrt[5]{(2^2 \cdot 3 \cdot 5)^5} = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60. \end{aligned}\]
в) \(4 = 2^2\), \(12 = 2^2 \cdot 3\), \(9 = 3^2\), \(216 = 2^3 \cdot 3^3\): \[\begin{aligned} &\sqrt[3]{\frac{2^2 \cdot 4 \cdot 12 \cdot 9}{216}} = \sqrt[3]{\frac{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 3^2}{2^3 \cdot 3^3}} = {} \\ &= \sqrt[3]{\frac{2^6 \cdot 3^3}{2^3 \cdot 3^3}} = \sqrt[3]{2^3} = 2. \end{aligned}\]
г) \(2\frac{113}{256} = \frac{2 \cdot 256 + 113}{256} = \frac{625}{256}\).
Числитель и знаменатель подкоренного выражения положительны, поэтому
\[\begin{aligned} &\sqrt[4]{2\frac{113}{256}} = \sqrt[4]{\frac{625}{256}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{256}} = {} \\ &= \frac{\sqrt[4]{5^4}}{\sqrt[4]{4^4}} = \frac{5}{4} = 1{,}25. \end{aligned}\]
д) Подкоренное выражение положительно, поэтому \[\begin{aligned} &\sqrt{\sqrt{3^{12} \cdot 4^4}} = \sqrt[2 \cdot 2]{3^{12} \cdot 4^4} = \sqrt[4]{3^{12} \cdot 4^4} = {} \\ &= \sqrt[4]{(3^3 \cdot 4)^4} = 3^3 \cdot 4 = 108. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(12\); б) \(60\); в) \(2\); г) \(1{,}25\); д) \(108\).
а) Подкоренные выражения положительны. Произведение корней равно корню из произведения: \[\begin{aligned} &\sqrt[3]{2^4 \cdot 3^2} \cdot \sqrt[3]{2^2 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^4 \cdot 3^2 \cdot 2^2 \cdot 3} = {} \\ &= \sqrt[3]{2^6 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{(2^2 \cdot 3)^3} = 2^2 \cdot 3 = 12. \end{aligned}\]
б) Представим множители второго подкоренного выражения в виде степеней простых чисел: \(4^3 = (2^2)^3 = 2^6\), \(27 = 3^3\), \(25 = 5^2\). Подкоренные выражения положительны, а произведение корней равно корню из произведения: \[\begin{aligned} &\sqrt[5]{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^3} \cdot \sqrt[5]{4^3 \cdot 27 \cdot 25} = {} \\ &= \sqrt[5]{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5^2} = \sqrt[5]{2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^5} = {} \\ &= \sqrt[5]{(2^2 \cdot 3 \cdot 5)^5} = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60. \end{aligned}\]
в) Разложим множители на простые: \(4 = 2^2\), \(12 = 2^2 \cdot 3\), \(9 = 3^2\), \(216 = 2^3 \cdot 3^3\). Сократим дробь под знаком корня на \(2^3 \cdot 3^3\): \[\begin{aligned} &\sqrt[3]{\frac{2^2 \cdot 4 \cdot 12 \cdot 9}{216}} = \sqrt[3]{\frac{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 3^2}{2^3 \cdot 3^3}} = {} \\ &= \sqrt[3]{\frac{2^6 \cdot 3^3}{2^3 \cdot 3^3}} = \sqrt[3]{2^3} = 2. \end{aligned}\]
г) Представим смешанное число в виде неправильной дроби: \(2\frac{113}{256} = \frac{2 \cdot 256 + 113}{256} = \frac{625}{256}\). Числитель и знаменатель подкоренного выражения положительны. Поскольку корень из частного равен частному корней, \[\begin{aligned} &\sqrt[4]{2\frac{113}{256}} = \sqrt[4]{\frac{625}{256}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{256}} = {} \\ &= \frac{\sqrt[4]{5^4}}{\sqrt[4]{4^4}} = \frac{5}{4} = 1{,}25. \end{aligned}\]
д) Подкоренное выражение положительно. Воспользуемся свойством извлечения корня из корня: \[\begin{aligned} &\sqrt{\sqrt{3^{12} \cdot 4^4}} = \sqrt[2 \cdot 2]{3^{12} \cdot 4^4} = \sqrt[4]{3^{12} \cdot 4^4} = {} \\ &= \sqrt[4]{(3^3 \cdot 4)^4} = 3^3 \cdot 4 = 108. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(12\); б) \(60\); в) \(2\); г) \(1{,}25\); д) \(108\).
