Страница 147 номер 673, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство \(\frac{-10}{(x - 4)^2 - 5} > 0\).
Числитель — отрицательное число \(-10\), поэтому дробь положительна тогда и только тогда, когда её знаменатель отрицателен: \((x - 4)^2 - 5 < 0\).
Поскольку \(5 = (\sqrt{5})^2\), разложим левую часть на множители: \[\begin{aligned} (x - 4)^2 - (\sqrt{5})^2 &< 0; \\ (x - 4 - \sqrt{5})(x - 4 + \sqrt{5}) &< 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю при \(x = 4 + \sqrt{5}\) или при \(x = 4 - \sqrt{5}\).
При \(x > 4 + \sqrt{5}\) оба множителя \(x - 4 - \sqrt{5}\) и \(x - 4 + \sqrt{5}\) положительны — произведение положительно. При \(4 - \sqrt{5} < x < 4 + \sqrt{5}\) множитель \(x - 4 - \sqrt{5}\) отрицателен, а множитель \(x - 4 + \sqrt{5}\) положителен — произведение отрицательно. При \(x < 4 - \sqrt{5}\) оба множителя отрицательны — произведение положительно.
Точки \(4 - \sqrt{5}\) и \(4 + \sqrt{5}\) — нули знаменателя исходной дроби: при них дробь не имеет смысла, поэтому они в множество решений не входят.
Ответ: \((4 - \sqrt{5}; 4 + \sqrt{5})\).
Решите неравенство \(\frac{-10}{(x - 4)^2 - 5} > 0\).
Числитель дроби — отрицательное число \(-10\). Частное отрицательного числа и числа, отличного от нуля, положительно тогда и только тогда, когда делитель отрицателен. Значит, неравенство выполняется тогда и только тогда, когда знаменатель дроби отрицателен: \((x - 4)^2 - 5 < 0\).
Поскольку \(5 = (\sqrt{5})^2\), разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: \[\begin{aligned} (x - 4)^2 - (\sqrt{5})^2 &< 0; \\ (x - 4 - \sqrt{5})(x - 4 + \sqrt{5}) &< 0. \end{aligned}\] Решим полученное неравенство методом интервалов. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x - 4 - \sqrt{5} = 0\) или \(x - 4 + \sqrt{5} = 0\), то есть при \(x = 4 + \sqrt{5}\) или при \(x = 4 - \sqrt{5}\). Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка: \((-\infty; 4 - \sqrt{5})\), \((4 - \sqrt{5}; 4 + \sqrt{5})\) и \((4 + \sqrt{5}; +\infty)\).
При \(x > 4 + \sqrt{5}\) оба множителя \(x - 4 - \sqrt{5}\) и \(x - 4 + \sqrt{5}\) положительны, значит, их произведение положительно. При \(4 - \sqrt{5} < x < 4 + \sqrt{5}\) множитель \(x - 4 - \sqrt{5}\) отрицателен, а множитель \(x - 4 + \sqrt{5}\) положителен, значит, произведение отрицательно. При \(x < 4 - \sqrt{5}\) оба множителя отрицательны, значит, произведение положительно.
Точки \(4 - \sqrt{5}\) и \(4 + \sqrt{5}\) — нули знаменателя исходной дроби: при них дробь не имеет смысла, поэтому они в множество решений не входят. Отметим их на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Ответ: \((4 - \sqrt{5}; 4 + \sqrt{5})\).
