Страница 147 номер 670, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство \((x - 5)^2 \le -\sqrt{3}(x - 5)\).
\[\begin{aligned} (x - 5)^2 &\leqslant -\sqrt{3}(x - 5); \\ (x - 5)^2 + \sqrt{3}(x - 5) &\leqslant 0; \\ (x - 5)(x - 5 + \sqrt{3}) &\leqslant 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю при \(x = 5\) или при \(x = 5 - \sqrt{3}\); поскольку \(\sqrt{3} > 0\), число \(5 - \sqrt{3}\) меньше 5.
При \(x > 5\) оба множителя \(x - 5\) и \(x - 5 + \sqrt{3}\) положительны — произведение положительно. При \(5 - \sqrt{3} < x < 5\) множитель \(x - 5\) отрицателен, а множитель \(x - 5 + \sqrt{3}\) положителен — произведение отрицательно. При \(x < 5 - \sqrt{3}\) оба множителя отрицательны — произведение положительно.
Неравенство нестрогое, поэтому точки \(5 - \sqrt{3}\) и 5, в которых произведение равно нулю, входят в множество решений.
Ответ: \([5 - \sqrt{3}; 5]\).
Решите неравенство \((x - 5)^2 \le -\sqrt{3}(x - 5)\).
Не станем раскрывать скобки: перенесём все слагаемые в левую часть неравенства и вынесем за скобки общий множитель \(x - 5\): \[\begin{aligned} (x - 5)^2 &\leqslant -\sqrt{3}(x - 5); \\ (x - 5)^2 + \sqrt{3}(x - 5) &\leqslant 0; \\ (x - 5)(x - 5 + \sqrt{3}) &\leqslant 0. \end{aligned}\] Решим полученное неравенство методом интервалов. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x - 5 = 0\) или \(x - 5 + \sqrt{3} = 0\), то есть при \(x = 5\) или при \(x = 5 - \sqrt{3}\). Поскольку \(\sqrt{3} > 0\), число \(5 - \sqrt{3}\) меньше 5. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка: \((-\infty; 5 - \sqrt{3})\), \((5 - \sqrt{3}; 5)\) и \((5; +\infty)\).
При \(x > 5\) оба множителя \(x - 5\) и \(x - 5 + \sqrt{3}\) положительны, значит, их произведение положительно. При \(5 - \sqrt{3} < x < 5\) множитель \(x - 5\) отрицателен, а множитель \(x - 5 + \sqrt{3}\) положителен, значит, произведение отрицательно. При \(x < 5 - \sqrt{3}\) оба множителя отрицательны, значит, произведение положительно.
Неравенство нестрогое, поэтому точки \(5 - \sqrt{3}\) и 5, в которых произведение равно нулю, входят в множество решений. Отметим их на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Ответ: \([5 - \sqrt{3}; 5]\).
