Страница 147 номер 668, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сколько корней имеет уравнение \(x^{10} = 15\)?
Показатель 10 — чётное число, поэтому множество значений функции \(f(x) = x^{10}\) — промежуток \(E(f) = [0; +\infty)\); число 15 ему принадлежит, то есть найдётся число \(x_0\), для которого \(x_0^{10} = 15\). Это число не равно нулю, так как \(f(0) = 0^{10} = 0\), а не 15.
Функция \(f(x)\) чётная: \((-x_0)^{10} = x_0^{10} = 15\), поэтому число \(-x_0\) — тоже корень. Числа \(x_0\) и \(-x_0\) противоположны и не равны нулю: одно из них положительно, другое отрицательно.
Функция \(f(x)\) возрастает на промежутке \([0; +\infty)\) и убывает на промежутке \((-\infty; 0]\), поэтому на каждом из них уравнение имеет не больше одного корня.
Следовательно, уравнение \(x^{10} = 15\) имеет ровно два корня: один положительный и один отрицательный.
Ответ: два корня.
Сколько корней имеет уравнение \(x^{10} = 15\)?
Уравнение \(x^{10} = 15\) имеет столько корней, сколько существует значений \(x\), при которых функция \(f(x) = x^{10}\) принимает значение 15.
Показатель 10 — чётное число, поэтому множество значений функции \(f(x) = x^{10}\) — промежуток \(E(f) = [0; +\infty)\). Число 15 принадлежит этому промежутку, значит, функция принимает значение 15: найдётся число \(x_0\), для которого \(x_0^{10} = 15\). Это число не равно нулю, так как \(f(0) = 0^{10} = 0\), а не 15.
Функция \(f(x)\) чётная: \((-x_0)^{10} = x_0^{10} = 15\), поэтому число \(-x_0\) — тоже корень уравнения. Числа \(x_0\) и \(-x_0\) противоположны и не равны нулю, поэтому одно из них положительно, а другое отрицательно.
При чётном показателе степенная функция возрастает на промежутке \([0; +\infty)\) и убывает на промежутке \((-\infty; 0]\), поэтому на каждом из них любое своё значение она принимает ровно один раз. Значит, на каждом из этих промежутков уравнение имеет не больше одного корня.
Следовательно, уравнение \(x^{10} = 15\) имеет ровно два корня: один положительный и один отрицательный.
Ответ: два корня.
