Страница 144 номер 656, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано:
\(S_0 = 1\,100\,000\) руб.
\(k = 10\) %
\(x \leqslant 220\,000\) руб. — аннуитетный платёж
Найти: наименьшее число лет \(n\).
Решение:
По формуле аннуитетного платежа \(x = \frac{q^n \cdot (q - 1)}{q^n - 1} \cdot S_0\), где \(q = 1 + \frac{10}{100} = 1{,}1\): \[x = \frac{1{,}1^n \cdot (1{,}1 - 1)}{1{,}1^n - 1} \cdot 1\,100\,000 = \frac{1{,}1^n}{1{,}1^n - 1} \cdot 110\,000.\] По условию \(x \leqslant 220\,000\). Так как \(1{,}1 > 1\), то \(1{,}1^n > 1\) при любом натуральном \(n\), то есть множитель \(1{,}1^n - 1\) положителен и при умножении на него знак неравенства не меняется: \[\begin{aligned} \frac{1{,}1^n}{1{,}1^n - 1} \cdot 110\,000 &\leqslant 220\,000; \qquad | : 110\,000 \\ \frac{1{,}1^n}{1{,}1^n - 1} &\leqslant 2; \qquad | \cdot (1{,}1^n - 1) \\ 1{,}1^n &\leqslant 2 \cdot 1{,}1^n - 2; \\ 2 &\leqslant 2 \cdot 1{,}1^n - 1{,}1^n; \\ 1{,}1^n &\geqslant 2. \end{aligned}\] Степени числа \(1{,}1\): \[\begin{aligned} 1{,}1^1 &= 1{,}1; \\ 1{,}1^2 &= 1{,}21; \\ 1{,}1^3 &= 1{,}331; \\ 1{,}1^4 &= 1{,}4641; \\ 1{,}1^5 &= 1{,}61051; \\ 1{,}1^6 &= 1{,}771561; \\ 1{,}1^7 &= 1{,}9487171; \\ 1{,}1^8 &= 2{,}14358881. \end{aligned}\] Каждая следующая степень больше предыдущей, так как получается из неё умножением на \(1{,}1 > 1\). Поскольку \(1{,}1^7 = 1{,}9487171 < 2\), а \(1{,}1^8 = 2{,}14358881 > 2\), неравенство \(1{,}1^n \geqslant 2\) не выполняется при \(n \leqslant 7\) и выполняется при \(n = 8\). Значит, Александр Сергеевич мог взять кредит не меньше чем на 8 лет.
Проверка: при \(n = 7\) платёж \(x = \frac{1{,}1^7}{1{,}1^7 - 1} \cdot 110\,000 \approx 225\,946\) (руб.) — больше \(220\,000\) руб.; при \(n = 8\) платёж \(x = \frac{1{,}1^8}{1{,}1^8 - 1} \cdot 110\,000 \approx 206\,188\) (руб.) — не больше \(220\,000\) руб.
Ответ: 8 лет.
Дано:
\(S_0 = 1\,100\,000\) руб.
\(k = 10\) %
\(x \leqslant 220\,000\) руб. — аннуитетный платёж
Найти: наименьшее число лет \(n\).
Решение:
Воспользуемся формулой аннуитетного платежа \(x = \frac{q^n \cdot (q - 1)}{q^n - 1} \cdot S_0\), где \(q = 1 + \frac{k}{100}\). Поскольку \(S_0 = 1\,100\,000\), \(q = 1 + \frac{10}{100} = 1{,}1\), получаем: \[x = \frac{1{,}1^n \cdot (1{,}1 - 1)}{1{,}1^n - 1} \cdot 1\,100\,000 = \frac{1{,}1^n}{1{,}1^n - 1} \cdot 110\,000.\] Согласно условию, необходимо найти наименьшее натуральное \(n\), при котором платёж не превышает 220 тыс. руб., то есть выполнено неравенство \(x \leqslant 220\,000\). Подставим в это неравенство выражение для \(x\). Разделим обе части неравенства на \(110\,000\), а затем умножим на \(1{,}1^n - 1\). Поскольку \(1{,}1 > 1\), неравенство \(1{,}1^n > 1\) выполняется для любого натурального \(n\), то есть множитель \(1{,}1^n - 1\) положителен. Следовательно, знак неравенства не изменится: \[\begin{aligned} \frac{1{,}1^n}{1{,}1^n - 1} \cdot 110\,000 &\leqslant 220\,000; \qquad | : 110\,000 \\ \frac{1{,}1^n}{1{,}1^n - 1} &\leqslant 2; \qquad | \cdot (1{,}1^n - 1) \\ 1{,}1^n &\leqslant 2 \cdot 1{,}1^n - 2; \\ 2 &\leqslant 2 \cdot 1{,}1^n - 1{,}1^n; \\ 1{,}1^n &\geqslant 2. \end{aligned}\] Найдём наименьшее натуральное \(n\), при котором это неравенство выполняется. Будем последовательно выписывать степени числа \(1{,}1\) до тех пор, пока не найдём подходящую: \[\begin{aligned} 1{,}1^1 &= 1{,}1; \\ 1{,}1^2 &= 1{,}21; \\ 1{,}1^3 &= 1{,}331; \\ 1{,}1^4 &= 1{,}4641; \\ 1{,}1^5 &= 1{,}61051; \\ 1{,}1^6 &= 1{,}771561; \\ 1{,}1^7 &= 1{,}9487171; \\ 1{,}1^8 &= 2{,}14358881. \end{aligned}\] Каждая следующая степень числа \(1{,}1\) больше предыдущей, так как получается из неё умножением на \(1{,}1 > 1\). Поскольку \(1{,}1^7 = 1{,}9487171 < 2\), а \(1{,}1^8 = 2{,}14358881 > 2\), неравенство \(1{,}1^n \geqslant 2\) не выполняется при \(n \leqslant 7\) и выполняется при \(n = 8\). Значит, Александр Сергеевич мог взять кредит не меньше чем на 8 лет.
Проверка: при \(n = 7\) платёж \(x = \frac{1{,}1^7}{1{,}1^7 - 1} \cdot 110\,000 \approx 225\,946\) (руб.), это больше \(220\,000\) руб.; при \(n = 8\) платёж \(x = \frac{1{,}1^8}{1{,}1^8 - 1} \cdot 110\,000 \approx 206\,188\) (руб.), это не больше \(220\,000\) руб.
Ответ: 8 лет.
