Страница 144 номер 655, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(S_0 = 10\) млн руб.
\(r = 10\) %
\(n = 4\) года
\(x\) млн руб. — пополнение в начале 3-го и 4-го годов, \(x\) — целое число
\(S_4 \geqslant 30\) млн руб.

Найти: наименьшее \(x\).

Решение:

В конце каждого года вклад увеличивается на 10 % по сравнению с его размером в начале года, то есть умножается на \(1 + \frac{10}{100} = 1{,}1\). В начале третьего и четвёртого годов к вкладу добавляется \(x\) млн руб., и проценты за этот год начисляются уже на пополненный вклад. Найдём размер вклада (в миллионах рублей) в конце каждого года: \[\begin{aligned} S_1 &= 10 \cdot 1{,}1 = 11; \\ S_2 &= 11 \cdot 1{,}1 = 12{,}1; \\ S_3 &= (12{,}1 + x) \cdot 1{,}1 = 13{,}31 + 1{,}1x; \\ S_4 &= (13{,}31 + 1{,}1x + x) \cdot 1{,}1 = 14{,}641 + 2{,}31x. \end{aligned}\] По условию через четыре года вклад должен стать не меньше 30 млн руб., то есть \(S_4 \geqslant 30\). Перенесём число \(14{,}641\) в правую часть неравенства и разделим обе части на положительное число \(2{,}31\), знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} 14{,}641 + 2{,}31x &\geqslant 30; \\ 2{,}31x &\geqslant 15{,}359; \qquad | : 2{,}31 \\ x &\geqslant \frac{15{,}359}{2{,}31} = \frac{15\,359}{2310}. \end{aligned}\] Так как \(2310 \cdot 6 = 13\,860 < 15\,359\) и \(2310 \cdot 7 = 16\,170 > 15\,359\), то \(6 < \frac{15\,359}{2310} < 7\). Значит, наименьшее целое \(x\), удовлетворяющее неравенству, равно 7.

Проверка: при \(x = 7\) вклад в конце третьего года составит \((12{,}1 + 7) \cdot 1{,}1 = 21{,}01\) (млн руб.), в конце четвёртого — \((21{,}01 + 7) \cdot 1{,}1 = 30{,}811\) (млн руб.), что не меньше 30 млн руб.; при \(x = 6\) — \((12{,}1 + 6) \cdot 1{,}1 = 19{,}91\) и \((19{,}91 + 6) \cdot 1{,}1 = 28{,}501\) (млн руб.), что меньше 30 млн руб.

Ответ: 7 млн рублей.