Страница 144 номер 653, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что для любого натурального \(n\) выполняется равенство \[1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots + n \cdot n! = (n+1)! - 1.\]
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) левая часть равна \(1 \cdot 1! = 1 \cdot 1 = 1\), а правая — \((1 + 1)! - 1 = 2! - 1 = 1 \cdot 2 - 1 = 1\), то есть равенство верно.
2) Пусть равенство верно при \(n = k\): \[1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots + k \cdot k! = (k + 1)! - 1.\] Докажем, что тогда оно верно и при \(n = k + 1\): \[1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots + k \cdot k! + (k + 1) \cdot (k + 1)! = (k + 2)! - 1.\] \((k + 2)! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (k + 1) \cdot (k + 2) = (k + 1)! \cdot (k + 2)\). По предположению сумма первых \(k\) слагаемых равна \((k + 1)! - 1\), поэтому \[\begin{aligned} &1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \ldots + k \cdot k! + (k + 1) \cdot (k + 1)! = {} \\ &= (k + 1)! - 1 + (k + 1) \cdot (k + 1)! = (k + 1)! \cdot (1 + k + 1) - 1 = {} \\ &= (k + 1)! \cdot (k + 2) - 1 = (k + 2)! - 1. \end{aligned}\] Значит, при \(n = k + 1\) равенство верно.
Оба условия метода математической индукции выполнены, значит, равенство верно при любом натуральном \(n\).
Ответ: равенство \(1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots + n \cdot n! = (n + 1)! - 1\) доказано для любого натурального \(n\).
Докажите, что для любого натурального \(n\) выполняется равенство \[1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots + n \cdot n! = (n+1)! - 1.\]
Запись \(n!\) обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\): \(n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n\). Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) левая часть равенства равна \(1 \cdot 1! = 1 \cdot 1 = 1\), а правая — \((1 + 1)! - 1 = 2! - 1 = 1 \cdot 2 - 1 = 1\). Значит, при \(n = 1\) утверждение верно.
2) Пусть равенство верно при \(n = k\), то есть \[1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots + k \cdot k! = (k + 1)! - 1.\] Докажем, что тогда равенство верно и при \(n = k + 1\), то есть \[1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots + k \cdot k! + (k + 1) \cdot (k + 1)! = (k + 2)! - 1.\] По предположению сумма первых \(k\) слагаемых равна \((k + 1)! - 1\). Кроме того, \((k + 2)! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (k + 1) \cdot (k + 2) = (k + 1)! \cdot (k + 2)\). Поэтому \[\begin{aligned} &1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \ldots + k \cdot k! + (k + 1) \cdot (k + 1)! = {} \\ &= (k + 1)! - 1 + (k + 1) \cdot (k + 1)! = (k + 1)! \cdot (1 + k + 1) - 1 = {} \\ &= (k + 1)! \cdot (k + 2) - 1 = (k + 2)! - 1. \end{aligned}\] Значит, при \(n = k + 1\) равенство верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, равенство \(1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots + n \cdot n! = (n + 1)! - 1\) верно при любом натуральном \(n\).
Ответ: равенство \(1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots + n \cdot n! = (n + 1)! - 1\) доказано для любого натурального \(n\).
