Страница 144 номер 652, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что для любого натурального \(n\) справедливо равенство \[1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) левая часть равна \(1^2 = 1\), а правая: \[\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{1 \cdot (1 + 1)(2 \cdot 1 + 1)}{6} = \frac{6}{6} = 1.\] Значит, при \(n = 1\) равенство верно.
2) Пусть равенство верно при \(n = k\): \[1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}.\] Докажем, что тогда оно верно и при \(n = k + 1\): \[1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}.\] По предположению \[1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2.\] Корни трёхчлена \(2k^2 + 7k + 6\) — числа \(-2\) и \(-1{,}5\), поэтому \(2k^2 + 7k + 6 = 2(k + 2)(k + 1{,}5) = (k + 2)(2k + 3)\) и \[\begin{aligned} &\frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2}{6} = {} \\ &= \frac{(k + 1)(2k^2 + k + 6k + 6)}{6} = \frac{(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} = {} \\ &= \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}. \end{aligned}\] Значит, при \(n = k + 1\) равенство верно.
Оба условия метода математической индукции выполнены, значит, равенство верно при любом натуральном \(n\).
Ответ: равенство \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\) доказано для любого натурального \(n\).
Докажите, что для любого натурального \(n\) справедливо равенство \[1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) левая часть равенства равна \(1^2 = 1\). Найдём значение правой части: \[\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{1 \cdot (1 + 1)(2 \cdot 1 + 1)}{6} = \frac{6}{6} = 1.\] Значит, при \(n = 1\) утверждение верно.
2) Пусть равенство верно при \(n = k\), то есть \[1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}.\] Докажем, что тогда равенство верно и при \(n = k + 1\), то есть \[1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}.\] По предположению сумма первых \(k\) слагаемых равна \(\frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}\), поэтому \[1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2.\] Преобразуем правую часть: приведём слагаемые к общему знаменателю, вынесем за скобки общий множитель \(k + 1\) и разложим на множители трёхчлен \(2k^2 + 7k + 6\) (его корни \(-2\) и \(-1{,}5\), поэтому \(2k^2 + 7k + 6 = 2(k + 2)(k + 1{,}5) = (k + 2)(2k + 3)\)): \[\begin{aligned} &\frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2}{6} = {} \\ &= \frac{(k + 1)(2k^2 + k + 6k + 6)}{6} = \frac{(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} = {} \\ &= \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}. \end{aligned}\] Следовательно, \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\), то есть при \(n = k + 1\) равенство верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, равенство \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\) верно при любом натуральном \(n\).
Ответ: равенство \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\) доказано для любого натурального \(n\).
